У тележки два цилиндрических колеса, соединённых невесомым горизонтальным
стержнем с помощью невесомых спиц и трения не имеющей оси, как показано на
рисунке. Каждое из колёс сделано из однородного диска радиуса \(R\), и в нём
соосно просверлено цилиндрическое отверстие радиуса \(R/2\) на расстоянии \(R/3\)
от центра колеса. Колёса повёрнуты так, что отверстия направлены друг к другу, и
тележка приведена в движение по горизонтальному полу. При какой критической
скорости \(v\) колёса начнут подпрыгивать?
▶РешениеСкрыть
Центр масс тела можно вычислить, рассматривая колесо как суперпозицию двух тел: одного с положительной плотностью \(\rho\) и одного с отрицательной плотностью \(-\rho\). Приняв \(r = 0\) за центр, получаем центр масс: \[r_{\text{цм}} = \frac{\rho\pi R^2\cdot0-\rho\pi\bigl(\frac R2\bigr)^2 \bigl(\frac R3\bigr)}{\rho\pi R^2-\rho\pi\bigl(\frac R2\bigr)^2} = -\frac{\frac14\bigl(\frac R3\bigr)}{1-1/4} = -R/9.\] Поэтому при нулевой нормальной силе имеем \[m\omega^2(R/9) = mg,\qquad \omega = 3\sqrt{g/R},\] и, следовательно, скорость равна \[\boxed{v = 3\sqrt{gR}}.\]