Полый цилиндр массы \(m\) и радиуса \(R\) стоит на горизонтальной поверхности,
касаясь её всюду своим гладким плоским торцом. Вокруг него намотана нить, и её
свободный конец тянут со скоростью \(v\) параллельно нити. Найдите скорость
цилиндра. Рассмотрите два случая: (а) коэффициент трения между поверхностью и
цилиндром равен нулю везде, кроме тонкой прямой полосы (много более узкой, чем
радиус цилиндра), где он равен \(\mu\); полоса параллельна нити, и расстояние от
неё до нити \(a<2R\) (на рисунке вид сверху); (б) коэффициент трения всюду равен
\(\mu\). Указание: любое плоское движение твёрдого тела можно рассматривать как
вращение вокруг мгновенного центра вращения, т. е. вектор скорости любой точки
тела такой же, как если бы мгновенный центр был настоящей осью вращения.
▶РешениеСкрыть
(а) Пусть точка, где нить встречается с цилиндром, — \(A\), а две точки, где полоса трения касается цилиндра, — \(B\) и \(C\). Пусть \(D\) — точка, диаметрально противоположная \(A\).
Утверждение. \(D\) — мгновенный центр вращения (МЦВ).
Доказательство. Предположим противное. Пусть \(D^*\) — МЦВ. Поскольку скорость точки \(A\) перпендикулярна \(AD\), точка \(D^*\) должна лежать где-то на \(AD\). Скорости \(B\) и \(C\) перпендикулярны \(DB\) и \(DC\) (по определению МЦВ), а силы трения антипараллельны им. Единственные силы, действующие на цилиндр, — натяжение \(T\) от нити и две силы трения. Поскольку цилиндр в равновесии, приравняв момент нулю относительно точки пересечения двух векторов трения, видим, что и вектор натяжения должен проходить через неё. Однако в силу симметрии точка пересечения должна лежать на \(AD\), а значит, это должна быть сама точка \(A\). Значит, \(\angle ABD^* = \angle ACD^* = 90^\circ\). Поэтому \(ABCD^*\) — вписанный четырёхугольник, откуда \(D^*\equiv D\). \qed
Теперь пусть угловая скорость вокруг \(D\) равна \(\omega\). Скорость \(A\) равна \(v = \omega\cdot2R\), а скорость центра: \[\boxed{v_{\text{центра}} = \omega\cdot R = \frac v2}.\]
(б) Разделив пол на бесконечно тонкие полоски, как в пункте (а), можно заключить, что МЦВ по-прежнему \(D\) и ответ остаётся тем же.