Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса \(R\) вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \(\omega\). Насколько высота поверхности воды на оси отличается от высоты у краёв сосуда?
▶РешениеСкрыть
Предположим, что давление на поверхности воды однородно. Во вращающейся системе отсчёта воды каждый элемент воды покоится. Значит, в этой вращающейся системе уравнение гидростатики имеет вид \[\vec F+\vec F_{\text{цб}}-\vec\nabla P = 0,\] где \(\vec F = -\rho g\hat\jmath\) — сила на единицу объёма, \(\vec F_{\text{цб}}\) — центробежная сила, а \(-\vec\nabla P\) — сила из-за градиента давления.
Ясно, что по определению \(\vec F_{\text{цб}} = -\rho\vec\omega\times (\vec\omega\times\vec R)\), так что уравнение гидростатики принимает вид \[\vec\nabla P = -\rho g\hat\jmath+\rho\omega^2x\hat\imath \ \Rightarrow\ \frac{\partial P}{\partial x} = \rho\omega^2x,\qquad \frac{\partial P}{\partial y} = -\rho g.\] Интегрируя, имеем \[P = \frac{\rho\omega^2x^2}2-\rho gy.\] Считая давление на поверхности постоянным, получаем \[\frac{\rho\omega^2x^2}2 = \rho gy\ \Rightarrow\ y = \frac{\omega^2}{2g}x^2.\] Итак, сечение поверхности вращающейся воды — парабола с этим уравнением. Подставляя \(x = R\), получаем относительную высоту у края сосуда: \[\boxed{\Delta h = \frac{\omega^2R^2}{2g}}.\]
Решение 2. Рассмотрим частицу воды на поверхности. Во вращающейся системе на неё действуют три силы: сила тяжести вниз, центробежная сила наружу и нормальная сила, перпендикулярная поверхности.
Три силы должны в сумме давать нуль. Складывая их геометрически, получаем замкнутый прямоугольный треугольник,
где \(\tg\theta = \frac g{\omega^2r}\). Поскольку нормальная сила перпендикулярна поверхности, наклон поверхности в этой точке равен \[\frac{dh}{dr} = \ctg\theta = \frac{\omega^2r}g.\] Интегрируя от 0 до \(R\), получаем \[\boxed{\Delta h = \frac{\omega^2R^2}{2g}}.\]