Сосуд в форме цилиндра, высота которого равна его радиусу \(R\), а полость
представляет собой полусферу, до краёв наполнен водой, перевёрнут вверх дном и
поставлен на горизонтальную поверхность. Радиус полусферической полости тоже равен
\(R\), а в дне сосуда есть маленькое отверстие. Из-под краёв свободно лежащего сосуда
часть воды вытекает. Какой высоты будет оставшийся слой воды, если масса сосуда
\(m\), а плотность воды \(\rho\)? При необходимости воспользуйтесь формулой объёма
шарового сегмента (см. рис.): \(V = \pi H^2(R-H/3)\).
▶РешениеСкрыть
Аналогично задаче 16 мы хотим, чтобы \[\rho gh(\pi R^2) = mg+V\rho g,\] только на этот раз \[\begin{align*} V &= \tfrac23\pi R^3-\pi H^2\Bigl(R-\frac H3\Bigr) = \tfrac23\pi R^3-\pi(R-h)^2\Bigl(\frac{2R+h}3\Bigr)\\ &= \tfrac23\pi R^3-\tfrac\pi3(2R^3-3R^2h+h^3) = \pi R^2h-\tfrac\pi3h^3. \end{align*}\] Подставляя это, получаем \[\rho gh(\pi R^2) = mg+\pi R^2h\rho g-\tfrac\pi3h^3\rho g,\] т. е. \(mg = \frac\pi3h^3\rho g\), откуда \[\boxed{h = \sqrt[3]{\frac{3m}{\pi\rho}}}.\] Проверим: подставив \(m = \frac\pi3\rho R^3\), действительно получаем \(h = R\).