Полусферическую чашу перевернули вверх дном и поставили на гладкую
горизонтальную поверхность. Затем через маленькое отверстие на дне чаши в неё
наливают воду. Ровно тогда, когда чаша становится полной, вода начинает вытекать
между столом и краем чаши. Найдите массу чаши, если плотность воды \(\rho\), а
радиус полусферы \(R\).
▶РешениеСкрыть
Изначально сила, действующая на сосуд, даётся полной силой тяжести, действующей на полусферический сосуд, т. е. \[F_{\text{до}} = Mg+\rho gV = Mg+\tfrac23\pi\rho gR^3.\] Когда вода вытекает, вес сосуда больше не действует на поверхность. Это значит, что новое давление равно давлению воды, умноженному на площадь основания полусферического сосуда. Давление воды одинаково во всех местах сосуда, так что \(P = \rho gR\cdot\pi R^2\). Из баланса сил имеем \[(\rho gR)\pi R^2 = Mg+\tfrac23\pi\rho gR^3\ \Longrightarrow\ \boxed{M = \tfrac13\pi\rho R^3}.\]
Решение 2. Разрежем купол на очень тонкие кольца толщины \(dl\). Можно считать, что на этих кольцах давление также постоянно. Пусть кольцо расположено на высоте \(h\) над основанием купола. Тогда видим, что давление равно \(P(h) = \rho g(R-h)\).
Пусть радиус кольца равен \(r\), а точка кольца образует угол \(\alpha\) с центром купола. Тогда \(r = R\cos\alpha\), а толщина \(dl = R\,d\alpha\). Площадь такого слоя равна \[dS = 2\pi R^2\cos\alpha\,d\alpha.\] Из-за кривизны полусферы все архимедовы силы, направленные на полусферу, взаимно уничтожаются, кроме силы, направленной вверх. Тогда видим, что \[dF = P(h)\,dS\sin\alpha\ \Longrightarrow\ dF = \rho g(R-R\sin\alpha)\cdot2\pi R^2\cos\alpha\sin\alpha\,d\alpha.\] Значит, суммарная сила воды на сосуд равна \[F = \int dF = 2\pi\rho gR^3\int_0^{\pi/2}(1-\sin\alpha)\cos\alpha\sin\alpha \,d\alpha.\] Взяв этот интеграл, получаем \[F = 2\pi\rho gR^3\Bigl(\frac{\sin^2\alpha}2-\frac{\sin^3\alpha}3\Bigr) \ \Longrightarrow\ F = \tfrac13\pi\rho gR^3.\] Чтобы силы уравновесились, эта сила должна равняться весу сосуда, т. е. \(Mg = \frac13\pi\rho gR^3\).
Решение 3. Предположим, что колокол помещён в цилиндрический сосуд, у которого и радиус, и высота равны \(R\). Массой сосуда можно пренебречь, когда мы заполним цилиндр водой. Поскольку давления внутри и снаружи полусферы во всех точках равны (по закону Паскаля), равновесие воды не изменится, если полусферу убрать, и давление воды на стол тоже не изменится. Это значит, что давление налитой в цилиндрический сосуд воды действует в точности как полусфера, так что масса полусферы равна массе налитой воды: \[\boxed{M = \rho\Bigl(\pi R^3-\tfrac23\pi R^3\Bigr) = \tfrac13\pi\rho R^3}.\]