Брусок находится на наклонной плоскости с углом \(\alpha\), коэффициент трения
между ними \(\mu>\tg\alpha\). Плоскость быстро двигают туда-сюда так, что её вектор
скорости \(\vu\) параллелен и плоскости, и горизонту и имеет постоянный модуль \(v\);
направление \(\vu\) резко меняется на противоположное через каждый промежуток
времени \(\tau\). Какова будет средняя скорость \(w\) движения бруска? Считайте, что
\(g\tau\ll v\).
▶РешениеСкрыть
Главная мысль в том, что брусок медленно сползает по склону. Это потому, что брусок движется туда-сюда с очень малым периодом и никогда не успевает набрать заметную горизонтальную скорость. С этим знанием построим диаграмму сил для бруска, считая его точечной массой.
На тело будет действовать сила трения, направленная вверх по плоскости: \(f_y = mg\sin\alpha\), — так что оно движется вниз по плоскости с постоянной скоростью. Горизонтальная сила трения равна \(f_x\), хотя горизонтального движения мы не заметим. Ключ в том, что направление силы трения антипараллельно направлению скорости. Поэтому \[\frac{f_y}{f_x} = \frac wv,\] где \(f_x\) даётся выражением \[f_y^2+f_x^2 = (\mu N)^2 = (\mu mg\cos\alpha)^2\ \Longrightarrow\ f_x = mg\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha},\] и весь брусок всё время испытывает кинетическое трение. Поэтому \[\boxed{w = v\cdot\frac{\sin\alpha}{\sqrt{\mu^2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}} = \frac v{\sqrt{\mu^2\ctg^2\alpha-1}}}.\]