Исследуем, насколько залежь железа может влиять на уровень воды. Рассмотрим
залежь железа на дне океана на глубине \(h = 2\) км. Чтобы упростить анализ,
предположим, что это шар радиуса 1 км с плотностью, превышающей плотность
окружающей породы на \(\Delta\rho = 1000\) кг/м\(^3\). Считайте, что этот шар
касается дна океана своей вершиной, т. е. что его центр находится на глубине
\(r+h\). Насколько уровень воды прямо над залежью железа отличается от среднего
уровня воды?
▶РешениеСкрыть
Задача по существу спрашивает, насколько меняется уровень воды в океане \(\Delta h\) из-за железорудного месторождения. Выберем начало вертикальной оси \(x\) в точке на поверхности океана очень далеко от месторождения. Точку \(x = 0\) примем за точку отсчёта для всего остального в системе, а для месторождения возьмём точку отсчёта на бесконечности, где гравитационный потенциал равен нулю. Рассмотрим случай, когда месторождения изначально нет. Потенциал тогда равен \[\phi_1 = -\frac{G\rho\frac43\pi r^3}{r+h}.\] Теперь рассмотрим случай, когда месторождение появилось в системе. Уровень воды увеличивается на высоту \(\Delta h\ll h\), так что \[\phi_2 = g\Delta h-\frac{G(\rho+\Delta\rho)\frac43\pi r^3}{h+r}.\] Приравнивая оба потенциала (поскольку потенциал остаётся постоянным во времени), получаем выражение \[gh-\frac{G\rho\frac43\pi r^3}{r+h} = g(h+\Delta h)-\frac{G(\rho+\Delta\rho)\frac43\pi r^3}{r+h},\] откуда \[\boxed{\Delta h = \frac{4\pi G r^3\Delta\rho}{3g(r+h)}\approx0{,}95\text{ см}}.\]