Если брусок квадратного сечения и очень малой плотности поместить в воду, он повернётся так, что одна пара его длинных противоположных граней станет горизонтальной. Однако эта ориентация становится неустойчивой при увеличении его плотности. Найдите критическую плотность, при которой происходит этот переход. Плотность воды \(\rho_w = 1000\) кг/м\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Идейно происходит вот что: если брусок чрезвычайно лёгкий и квадратное сечение слегка подтолкнуть, возникнет возвращающий момент, дающий устойчивое равновесие. Однако при некоторой плотности положение равновесия перестанет быть таким, при котором стороны квадрата параллельны воде. На самом деле новое положение равновесия будет повёрнуто на малый угол \(\theta\), где \(\theta\ll1\).
Погружённую часть можно представить как три отдельные массы. Длинная горизонтальная линия, выходящая за пределы квадрата, — уровень воды. Поэтому мы видим, что погружённая часть представляет собой трапецию. Её можно точно представить прямоугольником той же площади. Однако если пытаться балансировать моменты в такой постановке, ничего не выйдет, потому что не учтены краевые эффекты. Поэтому нужно добавить треугольник плотности \(\rho\) и одинаковый с ним треугольник плотности \(-\rho_o\), чтобы восстановить исходную форму.
Пусть ширина квадрата равна \(\ell\), а высота прямоугольника — \(y\). Балансируя силы, имеем \[\rho_o\ell^2g = \rho_w\ell yg\ \Longrightarrow\ \frac y\ell = \frac{\rho_o}{\rho_w}.\] Теперь сбалансируем моменты относительно центра масс \(O\). В положении равновесия моменты в сумме дают нуль. Момент от архимедовой силы прямоугольника равен \[\tau_1 = \rho_wg(\ell y)\Bigl(\tfrac12(\ell-y)\Bigr)\sin\theta,\] где \(\theta\) — угол, который низ бруса составляет с горизонтом. Треугольные части тоже дают момент от архимедовой силы. Заметим, что архимедова сила от треугольника отрицательной массы будет отрицательной и направленной в другую сторону. Момент каждого равен \[\tau_2 = \rho_wg\Bigl(\tfrac12(\ell/2)^2\sin\theta\Bigr) \Bigl(\tfrac23(\ell/2)\Bigr),\] где \(\frac23(\ell/2)\) — расстояние от центра масс треугольника до центра масс квадрата. Заметим, что поскольку \(\theta\ll1\), можно просуммировать моменты и приравнять к нулю: \[0 = \tau_1-2\tau_2,\qquad \frac{\ell^3}{12} = \frac{\ell y(\ell-y)}2,\qquad \frac{\ell^2}6 = y(\ell-y).\] Подставим отсюда \(\frac y\ell = \frac{\rho_o}{\rho_w}\equiv f\) и получим \[\frac{\ell^2}6 = \ell^2f(1-f)\ \Longrightarrow\ f^2-f+1/6 = 0.\] По формуле корней квадратного уравнения получаем \[\boxed{f = \frac{\rho_o}{\rho_w} = \frac12\bigl(1-3^{-1/2}\bigr)}.\]