Лёгкий стержень длины \(l\) закреплён на шарнире так, что шарнир складывается
только в одной плоскости. Шарнир вращают с угловой скоростью \(\omega\) вокруг
вертикальной оси. К другому концу стержня прикреплён маленький шарик.
(а) Найдите угловые скорости, при которых вертикальная ориентация устойчива.
(б) Теперь шарик прикреплён к ещё одному шарниру, а тот — к ещё одному
такому же стержню (см. рисунок ниже); верхний шарнир вращают так же. Каково
теперь условие устойчивости вертикальной ориентации?
▶РешениеСкрыть
(а) Нарисуем диаграмму сил.
Из анализа моментов замечаем, что для наличия возвращающего момента должно быть \[mgr>m\omega^2r\ell\cos\theta.\] Пользуясь приближением малых углов \(\cos\theta = 1\), получаем \(g>\omega^2\ell\), т. е. \[\boxed{\omega^2<\frac g\ell}.\]
(б) Пусть углы, образуемые стержнями, равны \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) соответственно. Тогда потенциальная энергия равна \[V = -mgl\cos\varphi_1-mgl(\cos\varphi_1+\cos\varphi_2).\] Пользуясь приближением малых углов \(\cos\varphi = 1-\frac{\varphi^2}2\), получаем \[V = -mgl\Bigl(1-\frac{\varphi_1^2}2\Bigr) -mgl\Bigl(1-\frac{\varphi_1^2}2+1-\frac{\varphi_2^2}2\Bigr).\] Согласно идее 19 можно убрать все постоянные и неквадратичные слагаемые: \[V_g = mgl\Bigl(\varphi_1^2+\frac{\varphi_2^2}2\Bigr).\] Нахождение потенциальной энергии, создаваемой центробежной силой, происходит похожим образом: \[V = \tfrac12m(l\sin\varphi_1\,\omega)^2 +\tfrac12m(l(\sin\varphi_1+\sin\varphi_2)\omega)^2.\] Пользуясь приближением малых углов \(\sin\theta = \theta\), имеем \[V_c = \tfrac12m\omega^2l^2(2\varphi_1^2+2\varphi_1\varphi_2+\varphi_2^2).\] Полная потенциальная энергия тогда равна \[V = V_g+V_c = mgl\Bigl(\varphi_1^2+\frac{\varphi_2^2}2\Bigr) +\tfrac12m\omega^2l^2(2\varphi_1^2+2\varphi_1\varphi_2+\varphi_2^2).\] Перегруппировав, получаем квадратичную форму \[V = (mgl-m\omega^2l^2)\varphi_1^2+(m\omega^2l^2)\varphi_1\varphi_2 +\tfrac12(mgl-m\omega^2l^2)\varphi_2^2.\] Равновесие \(\varphi_1 = \varphi_2 = 0\) устойчиво, если оно соответствует минимуму потенциальной энергии, т. е. если многочлен даёт положительные значения при любом отклонении от точки равновесия; это условие приводит к двум неравенствам. Во-первых, рассмотрев \(\varphi_2 = 0\) (при \(\varphi_1\ne0\)), заключаем, что множитель при \(\varphi_1^2\) (т. е. \(mgl-m\omega^2l^2\)) должен быть положителен. Во-вторых, при любом \(\varphi_2\ne0\) многочлен должен быть строго положителен, т. е. если приравнять это выражение к нулю и рассматривать его как квадратное уравнение относительно \(\varphi_1\), у него не должно быть вещественных корней, а значит, дискриминант должен быть отрицателен. Итак, глядя на дискриминант, находим \[\begin{align*} (m\omega^2l^2)^2-4(mgl-m\omega^2l^2)\cdot\tfrac12(mgl-m\omega^2l^2) &< 0,\\ m\omega^2l^2 &< \sqrt2(mgl-m\omega^2l^2),\\ \Bigl(\frac1{\sqrt2}+1\Bigr)m\omega^2l^2 &< mgl, \end{align*}\] \[\boxed{\omega^2<\frac{(2-\sqrt2)g}l}.\]