Мальчик тащит верёвку длины \(L = 50\) м по горизонтальной земле с коэффициентом трения \(\mu = 0{,}6\), держа конец верёвки на высоте \(H = 1\) м над землёй. Какова длина \(l\) той части верёвки, которая не касается земли?
▶РешениеСкрыть
Поскольку \(H\ll L\), кривизна верёвки очень мала, а значит, участок, находящийся над землёй, можно приближённо считать прямой линией. Более того, угол между касательной к верёвке и горизонтом всюду остаётся малым. Рассмотрим следующий чертёж, считая линейную плотность верёвки равной \(\lambda\).
Масса верёвки, лежащей на земле, равна \(\lambda(L-\ell)\), где \(\ell\) — горизонтальная часть верёвки, находящаяся над землёй (как показано на рисунке). Поскольку угол мал, можно считать, что \(\ell\) приближённо равна полной длине части верёвки над землёй. Поскольку вес этого участка верёвки уравновешивает нормальную силу \(N\), сила трения равна \(f = \mu N = \mu\lambda(L-\ell)g\). Из баланса моментов можно записать \[\lambda\ell g\frac\ell2 = fH = \mu\lambda(L-\ell)gH.\] Сокращая множители, получаем квадратное уравнение с решением \[\frac{\ell^2}2 = \mu(L-\ell)H\ \Longrightarrow\] \[\boxed{\ell = \sqrt{2HL\mu+\mu^2H^2}-\mu H\approx\sqrt{2HL\mu}-\mu H \approx7{,}2\text{ м}}.\]