Верёвка массы \(m\) подвешена к потолку за оба конца, а к её середине
прикреплён груз массы \(M\). Касательная к верёвке на каждом из её концов образует
угол \(\alpha\) с потолком. Каков угол \(\beta\) между касательными к верёвке у
груза?
▶РешениеСкрыть
Сначала посмотрим на поведение натяжения внизу. Вертикальная компонента натяжения должна выдерживать вес груза, так что \[2T_{\text{низ},y} = 2T_{\text{низ}}\cos(\beta/2) = Mg.\] Горизонтальная компонента тем самым равна \[T_x = T_{\text{низ}}\sin(\beta/2) = \frac{Mg}2\tg(\beta/2).\] Заметим, что эта горизонтальная сила натяжения будет постоянной в тяжёлой верёвке. Если рассмотреть бесконечно малый участок верёвки, то единственная сила, кроме натяжения, — это сила тяжести, направленная вниз. Чтобы уравновесить горизонтальные силы, горизонтальные компоненты натяжения должны быть постоянны. В верхней точке верёвки вертикальная компонента натяжения должна выдерживать вес груза и верёвки: \[2T_{\text{верх},y} = 2T_{\text{верх}}\sin\alpha = (M+m)g.\] Горизонтальная компонента тем самым равна \[T_x = T_{\text{верх}}\cos\alpha = \frac{(M+m)g}2\ctg\alpha.\] Приравнивая эти два выражения для горизонтального натяжения, получаем \[M\tg(\beta/2) = (M+m)\ctg\alpha\ \Longrightarrow\ \boxed{\beta = 2\arctg\Bigl(\Bigl(1+\frac mM\Bigr)\ctg\alpha\Bigr)}.\]