На цилиндр с горизонтальной осью положена доска длины \(l\) и толщины \(h\). При
каком радиусе \(R\) цилиндра горизонтальное положение доски устойчиво?
▶РешениеСкрыть
\
Здесь \(P\) — точка контакта доски с полусферой после поворота на \(\theta\), а \(L\) — исходная точка контакта. \(C\) — центр масс доски.
Чтобы решить задачу, повернём доску на угол \(\theta\) и рассмотрим моменты в этот момент. Прежде всего видим, что \(\angle POL = 90^\circ-\angle OLP = \theta\).
Мы хотим, чтобы \(C\) создавала момент по часовой стрелке относительно \(P\), значит, расстояние между \(C\) и \(OL\) должно быть больше расстояния между \(P\) и \(OL\). Это значит \[\frac h2\sin\theta<R\sin\theta\ \Longrightarrow\ \boxed{R>\frac h2}.\] Если исходное положение было устойчивым, то малые отклонения поднимали бы центр масс. Поэтому мы хотим \[R\cos\theta+R\theta\sin\theta+\frac h2\cos\theta>R+\frac h2.\] Пользуясь \(\cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}2\) и \(\sin\theta\approx\theta\), это неравенство можно переписать и получить то же условие \(R>\frac h2\).