Иногда для того, чтобы вешать на стену картины и т. п., используют
приспособление, модель которого описана ниже. К неподвижной вертикальной
поверхности приставлена неподвижная наклонная плоскость, угол между поверхностью и
плоскостью равен \(\alpha\). Между поверхностью и плоскостью есть зазор, куда можно
вставить тонкую пластинку. Пластинка плотно прижата к вертикальной поверхности;
коэффициент трения между ними можно считать равным нулю. В пространстве между
пластинкой и плоскостью может свободно перемещаться цилиндр массы \(m\), ось
которого горизонтальна и параллельна всем рассматриваемым поверхностям. Цилиндр
опирается на пластинку и на плоскость, коэффициенты трения на этих двух
поверхностях равны соответственно \(\mu_1\) и \(\mu_2\). При каких значениях
коэффициентов трения пластинка заведомо не упадёт вниз независимо от её веса?
▶РешениеСкрыть
На стержень в вертикальном направлении действуют две силы: его вес и сила трения, максимум которой равен \(\mu N_1\). По мере роста веса \(N_1\) тоже должна расти. Рассмотрим предельный случай \(W_{\text{стержня}}\to\infty\). Нормальные силы и силы трения, действующие на цилиндр, будут так велики, что массой цилиндра можно пренебречь, т. е. силой \(mg\) можно пренебречь. Это позволяет нам фактически «выключить» тяжесть.
Повернём теперь конструкцию на угол \(\alpha/2\) так, чтобы она стала полностью симметричной относительно вертикальной оси. Ясно, что горизонтальные силы взаимно уничтожатся.
Теперь остаётся уравновесить вертикальные силы. В силу симметрии \(y\)-компонента каждой силы трения уничтожается \(y\)-компонентой каждой нормальной силы. Для левой стороны имеем \[N_1\sin(\alpha/2) = \mu_1N_1\cos(\alpha/2)\ \Longrightarrow\ \boxed{\mu_1>\tg(\alpha/2)}.\] Неравенство возникает потому, что уравнение баланса сил даёт максимальное трение. Аналогично для другой стороны: \[\boxed{\mu_2>\tg(\alpha/2)}.\]