Клин с углом \(\alpha\) при вершине лежит на горизонтальном полу. В потолке
есть отверстие с гладкими стенками. В это отверстие плотно вставлен стержень,
который может двигаться вверх-вниз без трения, а его ось закреплена вертикально.
Стержень опирается на клин; единственная точка, где есть трение, — точка контакта
клина и стержня, коэффициент трения там равен \(\mu\). При каких значениях \(\mu\)
можно протолкнуть клин под стержнем, приложив лишь достаточно большую
горизонтальную силу?
▶РешениеСкрыть
Ключевое наблюдение: если суммарная вертикальная составляющая нормальной силы и силы трения направлена вниз, то стопор заклинит. Попробуем вычислить вертикальные составляющие участвующих сил. Пусть нормальная сила, направленная на клин, равна \(N\). Тогда вертикальная компонента нормальной силы — это либо \(N\cos\alpha\), либо \(N\sin\alpha\). Определить компоненту можно, прослеживая углы, но проще представить \(\alpha\to0\). В этом случае горизонтальная компонента нормальной силы тоже стремится к нулю — так ведёт себя синус, значит, горизонтальная компонента равна \(N\sin\alpha\). Это, в свою очередь, означает, что вертикальная компонента равна \(N\cos\alpha\).
Теперь найдём вертикальную составляющую трения. Сила трения, направленная вниз по направлению клина, равна \(\mu N\) (поскольку \(N\) уже перпендикулярна, тригонометрических множителей не нужно). Значит, вертикальная компонента трения равна \(\mu N\sin\alpha\).
Приравняем их с неравенством, где вертикальная компонента нормальной силы больше силы трения, чтобы клин прошёл: \[N\cos\alpha>\mu N\sin\alpha\ \Longrightarrow\ \boxed{\mu<\ctg\alpha}.\]