Лёгкая палка одним концом опирается на вертикальную стену, другим — на
горизонтальный пол. Жук хочет проползти по палке сверху вниз. Как должно зависеть
ускорение жука от его расстояния до верхнего конца палки? Масса жука \(m\), длина
палки \(l\), угол между полом и палкой \(\alpha\), массой палки можно пренебречь; и
пол, и стена скользкие (\(\mu=0\)). За какое время жук доберётся до нижнего конца
палки, начав движение сверху (из состояния покоя)?
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим ситуацию, когда жук прошёл расстояние \(x\) от верхнего конца и движется со скоростью \(v_b\). Палка всё время остаётся в покое, составляя с полом угол \(\alpha\). Когда жук находится на расстоянии \(\ell-x\) от нижнего конца стержня, момент сил на жука относительно самой нижней точки (назовём её \(O\)) создаётся силой тяжести и равен \[\vec\tau_O = \vec r\times\vec F = mg(\ell-x)\cos\alpha\,\hat k.\] В этот момент момент импульса жука можно записать как \[\vec L_O = mv\ell\sin\alpha\cos\alpha\,\hat k.\] Итак, имеем \[\vec\tau_O = \frac{d\vec L_O}{dt}\ \Longrightarrow\ m\ell\sin\alpha\cos\alpha\frac{dv}{dt} = mg(\ell-x)\cos\alpha,\] \[\frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = \frac g{\sin\alpha}(1-x/\ell) = -\frac g{\ell\sin\alpha}(x-\ell).\] Заметим, что вторая производная положения жука пропорциональна взятому со знаком минус расстоянию от точки \(O\). Но это напоминает уравнение простого гармонического движения относительно среднего положения \(O\)! Итак, как найдено выше, \[\boxed{a_{\text{жука}} = \frac g{\sin\alpha}(1-x/\ell)},\] где \(\sqrt{\frac g{\ell\sin\alpha}}\) можно считать угловой частотой этого гипотетического гармонического движения. Время, за которое жук доберётся до самой нижней точки, — это попросту четверть периода этого гармонического движения \(T_0\), так что \[\boxed{T_{\text{жука}} = \frac{T_0}4 = \frac\pi2 \sqrt{\frac{\ell\sin\alpha}g}}.\]
Решение 2. Палка сообщает жуку ускорение \(a\), так что жук действует на стержень с силой \(ma\), направленной вдоль стержня. Чтобы система была неподвижна, нормальная сила со стороны земли должна быть \(N_1 = mg\). Балансируя моменты относительно жука, имеем \[N_1\cos\alpha(\ell-x) = N_2\sin\alpha\,\ell\ \Longrightarrow\ N_2 = mg\ctg\alpha\,(1-x/\ell).\] Равнодействующая сила должна быть нулевой, так что можно сложить векторы \(N_1\), \(N_2\) и \(ma\) (они образуют прямоугольный треугольник). Горизонтальная компонента силы, с которой жук действует на стержень, \(ma\cos\alpha\), должна уравновесить \(N_2\): \[ma\cos\alpha = mg\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}(1-x/\ell)\ \Longrightarrow\ a = \frac{g(1-x/\ell)}{\sin\alpha}.\] Это можно записать и так: \[\ddot x = -\frac g{\ell\sin\alpha}x+\frac g{\sin\alpha}.\] Это уравнение гармонического движения с периодом \(T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell\sin\alpha}g}\). Путь от верха до низа соответствует четверти периода (от максимума потенциальной энергии к максимуму кинетической), так что \[\boxed{t = \frac\pi2\sqrt{\frac{\ell\sin\alpha}g}}.\]