Прямой однородный стержень опирается извне на вертикальную стену так, что угол между стеной и стержнем равен \(\alpha<90^\circ\). При каких значениях \(\alpha\) стержень может оставаться в покое в таком положении? Рассмотрите два случая: а) стена скользкая, а пол шершавый с коэффициентом трения \(\mu\); б) пол скользкий, а стена шершавая с коэффициентом трения \(\mu\).
▶РешениеСкрыть
(а) Пусть нормальная сила со стороны пола на лестницу равна \(N\). Тогда в предельном случае сила трения принимает максимальное значение, так что трение со стороны пола равно \(\mu N\).
Поскольку лестница в равновесии, у нас три уравнения: равновесие сил по горизонтали и по вертикали, а также моментов. Быстро взглянув на вертикальные силы, легко видим, что \(N_2 = mg\). Затем, глядя на горизонтальные силы, видим, что \(N_1 = \mu N\). Значит, остаётся только одно уравнение моментов.
Сначала нужно найти точку опоры лестницы. Обычно точкой опоры системы является место, где приложено больше сил. Итак, глядя на лестницу, видим, что точка опоры — низ лестницы. Балансируя моменты от силы тяжести и \(N_1\), имеем \[N_1\ell\sin\theta = mg(\ell/2)\cos\theta\ \Longrightarrow\ N_1 = \frac{mg}{2\tg\theta}.\] Это же и значение силы трения \(F\), как мы выяснили раньше. Итак, из \(F\le\mu mg\) находим \[\frac{mg}{2\tg\theta}\le\mu mg\ \Longrightarrow\ \boxed{\tg\theta\ge\frac1{2\mu}}.\]
(б) Построение диаграммы сил даёт следующий чертёж.
Из баланса сил видим, что нет силы, которая противодействовала бы силе \(\mu N\) со стороны стены. Это значит, что в этом случае лестнице \(\boxed{\text{невозможно оставаться неподвижной}}\).
Есть более простой способ решить пункт (а). Спроецируем вектор силы тяжести \(mg\) и нормальную силу со стороны стены \(N_1\) так, чтобы они встретились в точке над серединой лестницы. В этом месте момент, создаваемый этими двумя силами, равен нулю. Чтобы система была в статическом равновесии, сила со стороны земли тоже должна проходить через эту точку. Наклон силы со стороны земли к горизонту равен \(2\tg\theta\).
Поскольку сила со стороны земли складывается из нормальной силы \(N_2\) и силы трения \(f_s\), имеем \[2\tg\theta = \frac{N_2}{f_s}.\] Объединяя это с \(f_s\le\mu N_2\), получаем \[\boxed{\tg\theta\ge\frac1{2\mu}}.\]