Маленький шарик массы \(m = 1\) г движется по гладкой поверхности, скользя туда-сюда и упруго соударяясь со стенкой и с бруском. Масса прямоугольного бруска \(M = 1\) кг, начальная скорость шарика \(v_0 = 10\) м/с. Какова скорость шарика в тот момент, когда расстояние между шариком и стенкой удвоится по сравнению с первоначальным? Во сколько раз изменится средняя (по времени) сила, с которой шарик действует на стенку?
▶РешениеСкрыть
(а) Можно провести аналогию с термодинамикой. Поскольку процесс медленный и внешняя работа не совершается, можно сказать, что процесс адиабатический, т. е. \(TV^{\gamma-1} = \Const\). Здесь \[\gamma = 1+\frac21 = 3,\] поскольку степень свободы всего одна. Поэтому, когда расстояние удваивается, «объём» удваивается, а \(V^{\gamma-1}\) увеличивается вчетверо. В результате \(T\) уменьшается в четыре раза. Однако, поскольку \(T\propto v^2\), скорость должна уменьшиться вдвое. Поэтому \[\boxed{v = 5\text{ м/с}}.\]
(б) Средняя сила соответствует давлению. Имеем \(PV^\gamma = \Const\). Поскольку член \(V^\gamma\) вырастает в восемь раз, давление, а значит, и средняя сила \(\boxed{\text{уменьшатся в восемь раз}}\).
Решение 2. Можно проанализировать адиабатический инвариант системы. Построим фазовую диаграмму всей системы.
Отсюда видим, что адиабатический инвариант системы равен \(I = 2mvL\), где \(v\) и \(L\) могут меняться. Значит, начальный адиабатический инвариант \(I_0 = 2mv_0L\), а конечный \(I_f = 2mv(2L) = 4mvL\). Отсюда \[I_0 = I_f\ \Longrightarrow\ 2mv_0L = 4mvL,\qquad \boxed{v = \tfrac12v_0 = 5\text{ м/с}}.\]
\section[3. Задачи для повторения]{3. Решения задач для повторения}
Эта глава содержит задачи 56–86 пособия. Задачи для повторения берут понятия и идеи из более ранних задач и помещают их в новый контекст. Поэтому многие задачи этой главы покажутся знакомыми. Это, однако, не значит, что все задачи здесь лёгкие. Некоторые из самых трудных задач происходят именно отсюда.