Найдите скорость распространения малых волн на мелкой воде. Вода считается мелкой, если длина волны существенно больше глубины воды \(H\). Благодаря этому мы можем считать, что вдоль вертикального сечения горизонтальная скорость всех частиц \(v_h\) одинакова и что вертикальная скорость частиц воды существенно меньше горизонтальной. Малость волн означает, что их высота существенно меньше глубины воды. Это позволяет считать, что горизонтальная скорость частиц воды существенно меньше скорости волны \(u\).
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим контрольный объём, охватывающий волновой фронт и движущийся вместе с ним. Для наблюдателя, движущегося вместе с фронтом, жидкость справа кажется движущейся к фронту со скоростью \(u\), а жидкость слева — удаляющейся от фронта со скоростью \(u-v\). Такой наблюдатель считал бы контрольный объём неподвижным, т. е. процесс стационарным. Соотношение непрерывности даёт \[uH = (u-v)(H+h)\ \Longrightarrow\ v = u\frac h{H+h}.\] Кроме того, можно записать \[\frac{\rho g(H+h)^2}2-\frac{\rho gH^2}2 = \rho u H\,v,\] т. е. \[g\Bigl(1+\frac h{2H}\Bigr)h = vu.\] Объединяя два уравнения, получаем \[u^2 = gH\Bigl(1+\frac hH\Bigr)\Bigl(1+\frac h{2H}\Bigr).\] Поскольку \(h\ll H\), \[\boxed{u = \sqrt{gH}}.\]
Обобщение. Для произвольной глубины \(h\) дисперсионное соотношение таково: \[\omega^2 = gk\thyp(kh),\] где \(\omega\) — круговая частота, а \(k\) — волновое число. Для малых значений имеем \(\thyp(kh) = kh\), т. е. \[\omega^2 = gk^2h\ \Longrightarrow\ \omega = k\sqrt{gh}.\] Скорость, с которой движутся волны (фазовая скорость), равна \[v = \frac\omega k = \sqrt{gh}.\] Для больших значений \(h\) имеем \(\thyp(kh) = 1\), т. е. \[\omega^2 = gk\ \Longrightarrow\ v = \sqrt{\frac gk}.\] Это говорит нам, что волны с бо́льшим волновым числом движутся быстрее, чем волны с меньшим волновым числом.