Две скользкие (\(\mu=0\)) клиновидные наклонные поверхности с одинаковыми углами
наклона \(\alpha\) расположены так, что их боковые грани параллельны, наклонные
плоскости обращены друг к другу, и между ними есть небольшой зазор (см. рис.).
Сверху на этих поверхностях лежат цилиндр и клиновидный брусок, причём они
опираются друг на друга, а одна из граней бруска горизонтальна. Их массы равны
соответственно \(m\) и \(M\). С какими ускорениями будут двигаться цилиндр и брусок?
Найдите силу реакции между ними.
▶РешениеСкрыть
Пусть нормальная сила на цилиндр равна \(N_1\), нормальная сила на клин — \(N_2\), а нормальная сила между цилиндром и клином — \(N\). Если цилиндр движется вниз с ускорением \(a_1\), а клин движется вверх с ускорением \(a_2\), то из геометрии получаем уравнение связи \[-a_1+a_2 = 0\ \Longrightarrow\ a_1 = a_2.\] Чтобы найти ускорение, воспользуемся лагранжевым формализмом. Пусть цилиндр опускается на малую величину \(\xi\); тогда клин поднимается на \(\xi\), а значит, изменение потенциальной энергии равно \[\Pi(\xi) = (M-m)g\sin\alpha\,\xi.\] Дифференцируя по \(\xi\), получаем \(\Pi'(\xi) = (M-m)g\sin\alpha\). Кинетическая энергия системы в этом случае равна \[K = \tfrac12(m+M)\dot\xi^2,\] откуда \(\mathcal M = m+M\). Это даёт ускорение \[a = \frac{m-M}{m+M}g\sin\alpha.\] Проецируя законы Ньютона на цилиндр, получаем уравнение \[mg\sin\alpha-N\cos\alpha = ma.\] Подставляя наше значение ускорения, получаем \[mg\sin\alpha\Bigl(1-\frac{m-M}{m+M}\Bigr) = N\cos\alpha,\] \[\boxed{N = 2\frac{Mm}{m+M}g\tg\alpha}.\] Эта задача встречается в книге С. С. Кротова «Задачи по физике» (правда, там спрашивалась только скорость).