Калда, механика: задача 65

Обозначим горизонтальные ускорения трёх масс справа налево как \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), как показано на чертеже ниже. Пусть вертикальное ускорение верхней массы равно \(a_y\).

Внешних сил в горизонтальном направлении нет, поэтому \[ma_2+ma_3 = 4ma_1\ \Longrightarrow\ a_2+a_3 = 4a_1.\] Как и в первом решении, можно показать, что компонента ускорения верхней массы вдоль левого стержня должна совпадать с компонентой ускорения левой массы вдоль левого стержня. Это значит \[a_2\cos45^\circ+a_y\sin45^\circ = a_3\cos45^\circ\ \Longrightarrow\ a_2+a_y = a_3.\] То же верно и вдоль правого стержня, что даёт \(a_y-a_2 = a_1\). Решая эти три уравнения, получаем \[a_y = 2a_1,\qquad a_2 = a_1,\qquad a_3 = 3a_1.\] Применяя второй закон Ньютона к самой правой массе, имеем \(F_1\cos45^\circ = (4m)a_1\). Для левой массы \(F_2\cos45^\circ = ma_3 = m(3a_1)\). Для верхней массы в вертикальном направлении получаем \[mg-(F_1\cos45^\circ+F_2\cos45^\circ) = ma_y = m(2a_1).\] Подставляя \(F_1\) и \(F_2\), получаем \[mg-7ma_1 = 2ma_1\ \Longrightarrow\ \boxed{a_1 = \frac g9}.\]

Решение 2. На верхнюю массу действуют три силы: сила \(F_2\) со стороны левого стержня (сжатие), \(F_1\) со стороны правого стержня (сжатие) и сила тяжести \(mg\). У массы \(4m\) есть только горизонтальное ускорение. Поэтому \[4mg+\frac{F_1}{\sqrt2} = N.\] Теперь в неинерциальной системе отсчёта верхней массы у массы \(4m\) есть только тангенциальное ускорение, поскольку разделяющий их стержень имеет фиксированную длину. В результате получаем баланс сил \[\sum F_{\text{рад}} = \sum F_{\text{инерц}}+\sum F_{\text{псевдо}}.\] Инерционная сила, действующая на \(4m\) в радиальном направлении, попросту равна \[\frac{N-4mg}{\sqrt2}-F_1.\] Переходя в ускоренную систему отсчёта, где верхняя масса покоится, нужно ввести псевдосилу, действующую в направлении, противоположном равнодействующей силе на верхнюю массу. Ускорение верхней массы в радиальном направлении равно \[a = \frac Fm = \frac1m\Bigl(\frac{mg}{\sqrt2}+F_1\Bigr).\] Значит, радиальная компонента псевдосилы направлена противоположно. Псевдосила, которую испытывает самая правая масса, равна \[\sum F_{\text{псевдо}} = -\frac{mg}{m\sqrt2}\cdot4m-\frac{F_1}m\cdot4m = -\frac{4mg}{\sqrt2}-4F_1.\] Итак, имеем \[0 = \Bigl(\frac{N-4mg}{\sqrt2}-F_1\Bigr) +\Bigl(-\frac{4mg}{\sqrt2}-4F_1\Bigr).\] Подставляя \(N\), получаем \(F_1 = \frac{4\sqrt2mg}9\), и потому \[\boxed{a_1 = \frac{F_1}{\sqrt2\cdot4m} = \frac g9}.\]