Скользкий стержень расположен под углом \(\alpha\) к горизонту. По стержню может
скользить маленькое колечко массы \(m\), к которому привязана длинная нить. К нити
подвешен шарик размера \(M\). Изначально колечко удерживают неподвижно, а нить висит
вертикально. Затем колечко отпускают. Каково ускорение шарика сразу после этого?
▶РешениеСкрыть
Решение 1. Пусть ускорение массы \(m\) вдоль наклонной плоскости равно \(a\), а ускорение массы \(M\) вниз — \(a_1\). Поскольку длина верёвки постоянна, имеем \(a\sin\alpha = a_1\). Записывая уравнения сил для обеих масс, получаем \[T\sin\alpha+mg\sin\alpha = ma,\qquad mg-T = ma_1.\] Решая эти три уравнения, получаем \[\boxed{a_1 = g\sin^2\alpha\frac{M+m}{m+M\sin^2\alpha}}.\]
Решение 2. В этой задаче вполне допустимо считать угол, на который масса отклоняется от вертикали, равным \(\varphi = 0\), поскольку нас интересует ускорение массы только в момент отпускания. Пусть вертикальная обобщённая координата \(\xi\) массы \(M\) направлена вертикально вниз, как показано на чертеже ниже.
Рассмотрим кинетическую энергию системы: \[K = \tfrac12M\dot\xi^2+\tfrac12m\Bigl(\frac{\dot\xi}{\sin\alpha}\Bigr)^2 = \tfrac12\Bigl(\frac m{\sin^2\alpha}+M\Bigr)\dot\xi^2 = \tfrac12\mathcal M\dot\xi^2,\] где эффективная масса \[\mathcal M = \frac m{\sin^2\alpha}+M.\] Аналогично можно записать потенциальную энергию \(\Pi(\xi)\) (поскольку обе массы опускаются на расстояние \(\xi\)): \[\Pi = -(M+m)g\xi\ \Longrightarrow\ \Pi'(\xi) = -(M+m)g.\] По методу 6 заметим, что ускорение \(\ddot\xi\) тогда записывается как \[\boxed{\ddot\xi = -\frac{\Pi'(\xi)}{\mathcal M} = g\frac{m+M}{m+M\sin^2\alpha}\sin^2\alpha}.\]