Брусок начинает соскальзывать с самой верхней точки сферической поверхности. Найдите высоту, на которой он оторвётся от поверхности. Сфера закреплена, её радиус \(R\); трения нет.
▶РешениеСкрыть
\
Пусть точка, где тело соскальзывает с полусферы, — \(P\). Тогда по закону сохранения энергии \[\tfrac12mv^2 = mgR(1-\cos\theta),\] откуда \(v^2 = 2gR(1-\cos\theta)\). В любой точке окружности имеем \(F_g = F_c+F_N\). Однако в точке потери контакта нормальная сила обращается в нуль. Значит, \[mg\cos\theta = \frac{mv^2}R.\] Сокращая \(m\) и подставляя \(v^2\), получаем \[g\cos\theta = \frac{2gR(1-\cos\theta)}R,\qquad 2-2\cos\theta = \cos\theta, \qquad \cos\theta = \frac23.\] Мы знаем, что \(\cos\theta = \frac hR\), так что высота, на которой тело теряет контакт, равна \[\boxed{h = \frac23R}.\]