Длина невесомого стержня равна \(2l\). На расстоянии \(x=l\) от его верхнего конца
закреплён маленький шарик массы \(m\). Стержень одним концом опирается на стену,
другим — на пол. Конец, лежащий на полу, отодвигают от стены с постоянной
скоростью \(v\). а) Найдите силу, с которой шарик действует на стержень в тот момент,
когда угол между стеной и стержнем равен \(\alpha = 45^\circ\); б) каков ответ, если
\(x\ne l\)?
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(v\) вправо. С этой системой удобнее работать, потому что здесь конец стержня на земле покоится. Назовём этот конец \(A\). Пусть \(t = 0\) соответствует моменту, когда стержень вертикален. В момент \(t\) расстояние между \(A\) и вертикальной стеной равно \(d = vt\). Пусть угол между стержнем и горизонтальной стеной равен \(\theta = \frac\pi2-\alpha\), так что \(\cos\theta = \frac{vt}{2l}\). Дифференцируя по времени, получаем \[\dot\theta\sin\theta = \frac v{2l}\ \Longrightarrow\ \dot\theta = \frac v{2l\sin\theta}.\] Скорость шарика равна \[\dot\theta(2l-x) = \frac{v(2l-x)}{2l\sin\theta}\] и перпендикулярна стержню. Поэтому \(x\)-компонента скорости \[v_x = \frac{v(2l-x)\sin\theta}{2l\sin\theta} = \frac{v(2l-x)}{2l}\] постоянна, а значит, \(a_x = 0\). Теперь центростремительное ускорение шарика \[a_c = \dot\theta^2(2l-x) = \frac{v^2(2l-x)}{4l^2\sin^2\theta}\] направлено к \(A\). Мы знаем, что ускорение целиком направлено по \(y\), поскольку \(a_x = 0\). В результате \[a\sin\theta = \frac{v^2(2l-x)}{4l^2\sin^2\theta},\qquad a = \frac{v^2(2l-x)}{4l^2\sin^3\theta} = \frac{v^2(2l-x)}{4l^2\cos^3\alpha},\] и оно направлено в отрицательном направлении \(y\). По второму закону Ньютона \[\boxed{N = mg-ma = m\Bigl(g-\frac{v^2(2l-x)}{4l^2\cos^3\alpha}\Bigr)}.\] Заметим, что \(a_x = 0\). Поскольку \(v_x = v\bigl(1-\frac x{2l}\bigr)\) постоянна, стержень и шарик не действуют друг на друга в горизонтальном направлении.