Лёгкий стержень длины \(l\) соединён шарниром с горизонтальной поверхностью; к
концу стержня прикреплён маленький шарик массы \(m\). Изначально стержень вертикален,
а шарик опирается на брусок массы \(M\). Систему отпускают, и через некоторое время
брусок отрывается от поверхности — в тот момент, когда стержень образует угол
\(\alpha = \pi/6\) с горизонтом. Найдите отношение масс \(M/m\) и скорость \(u\) бруска в
момент отрыва.
▶РешениеСкрыть
Пусть скорость стержня равна \(v_1\), скорость ящика — \(v_2\), \(m\) — масса груза на стержне, \(M\) — масса ящика, а \(\alpha\) — угол, который \(v_1\) составляет с направлением \(mg\). Поскольку \(v_2\) чисто горизонтальна, легко видеть, что \(v_1\sin\alpha = v_2\).
Далее воспользуемся законом сохранения энергии. Сравнивая начальное и конечное состояния, получаем \[mgL = \tfrac12mv_1^2+\tfrac12Mv_2^2+mgL\sin\alpha,\] \[mgL(1-\sin\alpha) = v_1^2\Bigl(\frac m2+\frac M2\sin^2\alpha\Bigr),\qquad v_1^2 = \frac{2mgL(1-\sin\alpha)}{m+M\sin^2\alpha}.\] Теперь воспользуемся идеей 40: \(v_1\) и \(v_2\) максимальны, а значит, \(\vec N\) и \(\vec F = 0\). Применяя второй закон Ньютона к бруску, получаем уравнение \[Ma_0\sin\alpha-N = \frac{Mv_1^2}L\cos\alpha.\] По идее 40 в момент потери контакта \(\vec N = 0\), и потому \(a_0\sin\alpha = \frac{v_1^2}L\cos\alpha\). Подставляя \(v_1\) и упрощая, получаем \[a_0 = \frac{2mg(1-\sin\alpha)\cos\alpha}{\sin\alpha(m+M\sin^2\alpha)},\] что равно \(g\cos\alpha\), поскольку тяжесть — единственная сила, вызывающая ускорение (ведь \(N = F = 0\)). Это значит, что \[\begin{align*} g\cos\alpha &= \frac{2mg(1-\sin\alpha)\cos\alpha} {\sin\alpha(m+M\sin^2\alpha)},\\ 2m(1-\sin\alpha) &= m\sin\alpha+M\sin^3\alpha,\\ m(2-3\sin\alpha) &= M\sin^3\alpha, \end{align*}\] \[\frac Mm = \frac{2-3\sin\alpha}{\sin^3\alpha}.\] Для \(\alpha = \frac\pi6\) это означает, что \(\boxed{\frac Mm = 4}\). Пользуясь этим, упрощаем выражение для \(v_2\): \[\boxed{v_2 = \sqrt{\frac{2mgL(1-\sin\alpha)\sin^2\alpha}{m+4m\sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{gL}8}}.\]