Мальчик массы \(m\) хочет столкнуть другого мальчика, стоящего на льду, масса которого \(M\) больше его собственной. Для этого он разгоняется, подбегает к другому мальчику и толкает его до тех пор, пока они могут удержаться на ногах. На какое максимальное расстояние удастся его так протолкнуть? Максимальная скорость бега равна \(v\), коэффициент трения между обоими мальчиками и льдом равен \(\mu\).
▶РешениеСкрыть
Во время соударения сохраняется импульс. Соударение абсолютно неупругое: \[mv = (M+m)u\ \Longrightarrow\ u = \frac{mv}{M+m}.\] Однако, поскольку мальчик всё время толкает другого мальчика, приложенная сила равна \(mg\mu\). Балансируя силы, получаем \[(m+M)a = \mu mg-\mu Mg.\] Деля, получаем модуль замедления \[a = \frac{\mu g(M-m)}{M+m}.\] Значит, \[\boxed{d = \frac{v^2_{\text{нач}}}{2a} = \frac{\bigl(\frac{mv}{M+m}\bigr)^2}{\frac{2(M-m)\mu g}{M+m}} = \frac{m^2v^2}{2(M^2-m^2)\mu g}}.\]