Брусок массы \(m\) лежит на скользкой горизонтальной поверхности. Сверху на нём
лежит другой брусок массы \(m\), а на том — ещё один, тоже массы \(m\). Нить,
соединяющая первый и третий бруски, перекинута через невесомый блок. Нити
горизонтальны, а блок тянут силой \(F\). Каково ускорение второго бруска? Коэффициент
трения между брусками равен \(\mu\).
▶РешениеСкрыть
Воспользуемся идеей 51 и перечислим все возможные комбинации совместно движущихся тел. Обозначим поверхность между двумя верхними телами как \(S_1\), а между двумя нижними — как \(S_2\). Возможны варианты:
\(\star\) \(S_1\) покоится, \(S_2\) покоится;
\(\star\) \(S_1\) скользит, \(S_2\) покоится;
\(\star\) \(S_1\) покоится, \(S_2\) скользит;
\(\star\) \(S_1\) скользит, \(S_2\) скользит.
(1) Рассмотрим первый случай. Тогда \[F = 3ma\ \Longrightarrow\ a = \frac F{3m}.\] Чтобы проанализировать условия, при которых это происходит, нужно посмотреть на силы трения. Второй брусок испытывает две силы трения от двух поверхностей. Обе силы \(f_1\) и \(f_2\) должны удовлетворять \(f_1<mg\mu\) и \(f_2<2mg\mu\). Поскольку первое условие жёстче (и если оно выполнено, то выполнено и второе), посмотрим на первую поверхность. Самый верхний брусок испытывает две силы: силу натяжения величины \(F/2\) и силу трения \(-f_1\). Вместе они дают вычисленное выше ускорение: \[m\Bigl(\frac F{3m}\Bigr) = \frac F2-f_1\ \Longrightarrow\ f_1 = \frac F6.\] Из неравенства \(f_1<mg\mu\) получаем условие \[\frac F6<mg\mu\ \Longrightarrow\ \boxed{\frac F{mg\mu}<6}.\]
(2) Теперь второй случай, когда два нижних бруска движутся вместе, а два верхних скользят друг по другу. Мы хотим уравновесить силы на два нижних бруска вместе, но нужно быть внимательными к направлению силы трения. И верхний брусок, и два нижних тянутся верёвкой, но поскольку верхний брусок легче, он будет разгоняться быстрее. В результате кинетическое трение, испытываемое двумя верхними брусками, направлено прямо вправо. Балансируя силы, имеем \[(2m)a = \frac F2+mg\mu\ \Longrightarrow\ a = \frac F{4m}+\frac12g\mu.\] Условия, которые должны выполняться: \(f_1 = mg\mu\) и \(f_2<2mg\mu\). Для второго условия уравновесим силы на самый нижний брусок: \[m\Bigl(\frac F{4m}+\frac12g\mu\Bigr) = \frac F2-f_2\ \Longrightarrow\ f_2 = \frac F4-\frac12mg\mu.\] Из условия \(f_2<2mg\mu\) получаем \[\boxed{\frac F{mg\mu}<10}.\] Чтобы выполнялось первое условие, должно быть \(\frac F{mg\mu}>6\); иначе все три бруска двигались бы вместе.
(3) Это невозможно. Если трение достаточно сильно, чтобы два верхних бруска двигались вместе, то оно тем более достаточно сильно, чтобы вместе двигались два нижних, поскольку нормальная сила между двумя нижними брусками всегда больше нормальной силы между двумя верхними.
(4) Это простой случай. Балансируя силы прямо на втором бруске, получаем \[ma = f_1+f_2 = mg\mu+2mg\mu\ \Longrightarrow\ \boxed{a = 3g\mu}.\] Это случай, когда приложенная сила превышает верхнюю границу \(\frac F{mg\mu} = 10\). Поэтому полное проскальзывание происходит при \(\frac F{mg\mu}>10\). Наконец, подытожим результаты: \[\boxed{a = \begin{cases} \dfrac F{3m}, & \dfrac F{mg\mu}<6,\\[6pt] \dfrac F{4m}+\dfrac{g\mu}2, & 6<\dfrac F{mg\mu}<10,\\[6pt] 3g\mu, & \dfrac F{mg\mu}>10. \end{cases}}\]