На конце очень длинной нити висит маленький шарик массы \(M\); к нему невесомым
стержнем прикреплён другой маленький шарик массы \(m\). Длина стержня равна \(l\).
Изначально система находится в равновесии. Какую горизонтальную скорость надо
сообщить нижнему шарику, чтобы он поднялся на ту же высоту, что и верхний? Размерами
шариков по сравнению с длиной стержня можно пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Заметим, что из-за того, что нить чрезвычайно длинная, горизонтальных сил со стороны нити нет, а значит, горизонтальный импульс сохраняется: \[mv = (M+m)u.\] Сохранение энергии тогда даёт \[\tfrac12mv^2 = \tfrac12(M+m)u^2+mg\ell \ \Longrightarrow\ \tfrac12mv^2 = \tfrac12\frac{m^2v^2}{M+m}+mg\ell.\] Решая относительно \(v\), получаем1 \[\boxed{v = \sqrt{2g\ell(1+m/M)}}.\]
Сноски
- Полезно проверить предельные случаи. Если \(m/M\to0\), горизонтальными компонентами скорости можно пренебречь и просто сохранять энергию; получаем стандартный результат \(v = \sqrt{2g\ell}\). Если \(M\to\infty\), то нужна бесконечная скорость, чтобы поднять груз на высоту, — ведь нить, как сказано, очень длинная. ↩