Палка постоянной плотности опирается одним концом на землю, а другим — на стену. Изначально она была вертикальна и начала соскальзывать из состояния покоя, так что всё последующее движение происходит в плоскости, перпендикулярной линии пересечения пола и стены. Каков был угол между палкой и стеной в тот момент, когда палка потеряла контакт со стеной? Трением пренебречь.
▶РешениеСкрыть
Сначала сформулируем утверждение.
Утверждение. Горизонтальная компонента ускорения стержня обращается в нуль при \(\sin\varphi_c = \frac23\).
Доказательство. Пусть \(\varphi\) — угол, который стержень составляет с горизонтом. Из сохранения энергии между \(t = 0\) и моментом отрыва самой верхней точки получаем \[\frac{mgL}2+0 = \tfrac12mv_x^2+\tfrac12mv_y^2+\frac{mgL}2\sin\varphi \ \Rightarrow\ v_x = \sqrt{gL\sin^2\varphi(1-\sin\varphi)}.\] Кроме того, по определению \(\dot\varphi = \omega = \frac{v_x\sin\varphi+v_y\cos\varphi}L\), а из условия связи \(v_y = v_x\ctg\varphi\). Подставляя условие связи в \(\omega\), получаем \(\omega = \frac{v_x}{L\sin\varphi}\).
Теперь для \(a_x\) продифференцируем \(v_x\) по времени: \[a_x = \frac{\sqrt{gL}\,\sin\varphi\cos\varphi(2-3\sin\varphi)} {2\sqrt{\sin^2\varphi(1-\sin\varphi)}}\cdot\dot\varphi = \frac{g\cos\varphi}2(2-3\sin\varphi).\] Ясно, что \(a_x = 0\) при \(\sin\varphi_c = \frac23\). \qed
Теперь из утверждения имеем, что при \(\sin\varphi_c = \frac23\) выполняется \(a_x = 0\). В этот момент горизонтальная компонента ускорения системы равна нулю (или горизонтальная скорость системы максимальна). Значит, в этот момент на стержень не действует горизонтальная сила. Тогда, если бы натяжение существовало, все точки стержня ускорялись бы друг к другу и их расстояние по \(x\) уменьшалось бы. Но расстояние по \(y\) тоже уменьшается, что даёт противоречие. Значит, \(\boxed{\text{натяжение в стержне в этот момент равно нулю}}\).
Решение 2. Пусть \(\varphi\) — угол между стержнем и горизонтальной поверхностью, \(x\) — горизонтальное положение нижней массы, \(y\) — вертикальное положение верхней массы: \[\begin{aligned} x &= r\cos\varphi, & \dot x &= -r\sin\varphi\,\dot\varphi, & \ddot x &= -r\sin\varphi\,\ddot\varphi-r\cos\varphi\,\dot\varphi^2,\\ y &= r\sin\varphi, & \dot y &= r\cos\varphi\,\dot\varphi, & \ddot y &= r\cos\varphi\,\ddot\varphi-r\sin\varphi\,\dot\varphi^2. \end{aligned}\] По закону сохранения энергии \[\tfrac12m\dot x^2+\tfrac12m\dot y^2+mg\frac r2\sin\varphi = mg\frac r2,\] т. е. \(\frac12mr^2\dot\varphi^2+mg\frac r2\sin\varphi = mg\frac r2\). Взяв производную по времени, получаем \(\ddot\varphi = -\frac g{2r}\cos\varphi\). Из уравнения энергии находим также \(\dot\varphi^2 = \frac gr(1-\sin\varphi)\).
Когда самая верхняя точка теряет контакт со стеной, на стержень не действует горизонтальная сила, а значит, горизонтальное ускорение стержня должно быть нулевым. Найдём \(\varphi_c\), при котором это происходит: \[\begin{align*} 0 = \ddot x &= -r\sin\varphi_c\ddot\varphi_c -r\cos\varphi_c\dot\varphi_c^2\\ &= -r\sin\varphi_c\Bigl(-\frac g{2r}\cos\varphi_c\Bigr) -r\cos\varphi_c\Bigl(\frac gr(1-\sin\varphi_c)\Bigr)\\ &= \frac{g\cos\varphi_c}2(3\sin\varphi_c-2). \end{align*}\] Отсюда \(\boxed{\sin\varphi_c = \frac23}\).
Любопытный факт. Любая точка стержня движется по эллипсу. Действительно, в любой момент рассмотрим точку на расстоянии \(r\) вдоль стержня от его самой нижней точки. Её координаты попросту равны \(((L-r)\cos\varphi,\ r\sin\varphi)\), т. е. \[\cos\varphi = \frac x{L-r},\qquad \sin\varphi = \frac yr,\] и геометрическое место этой точки — это \[\Bigl(\frac x{L-r}\Bigr)^2+\Bigl(\frac yr\Bigr)^2 = 1,\] т. е. эллипс, вырождающийся в окружность при \(L-r = r\), т. е. \(r = \frac L2\), — в центре масс стержня.