Бревно массы \(M\) скользит по льду, вращаясь. Скорость центра масс бревна равна
\(v\), его угловая скорость \(\omega\). В тот момент, когда бревно перпендикулярно
скорости своего центра масс, оно ударяется о неподвижную шайбу массы \(m\). При каком
отношении масс \(M/m\) возможна ситуация, когда бревно останется на месте, а шайба
отлетит? Соударения абсолютно упругие. Бревно прямое, и его линейная плотность
постоянна.
▶РешениеСкрыть
Ясно, что момент импульса сохраняется относительно любой точки, лежащей на прямой, проходящей через бревно. Для удобства выберем точку, где происходит соударение: \[Mv\frac\ell2\hat k-\frac{M\ell^2}{12}\omega\hat k = 0 \ \Rightarrow\ \vec\omega = -\frac{6v}\ell\hat k.\] По сохранению импульса имеем \[Mv = mv_f\ \Rightarrow\ v_f = \frac Mmv,\] где \(v_f\) — конечная скорость шайбы. Поскольку соударение упругое, \[e = 1 = \frac{v_f-0}{\bigl(v+\frac{\omega\ell}2\bigr)-0} \ \Rightarrow\ v_f = v+\frac{\omega\ell}2.\] Из этих трёх уравнений получаем \[\boxed{\frac Mm = 4}.\] Вместо уравнения с коэффициентом восстановления можно воспользоваться сохранением энергии: \[\tfrac12Mv^2+\tfrac12\Bigl(\frac{M\ell^2}{12}\Bigr)\omega^2 = \tfrac12mv_f^2.\] Решая это уравнение вместе с уравнениями сохранения импульса и момента импульса, получаем тот же ответ.