Мяч падает с высоты \(h\); изначально горизонтальная скорость мяча была \(v_0\), и он не вращался. а) Найдите скорость и угловую скорость мяча после следующего соударения с полом: деформация мяча о пол была абсолютно упругой, но на поверхности контакта было трение, такое что та часть мяча, которая соприкасалась с полом, останавливалась. б) Ответьте на тот же вопрос в предположении, что скорости соприкасающихся поверхностей никогда не выравнивались и что в течение всего соударения имело место трение с коэффициентом \(\mu\).
▶РешениеСкрыть
(а) Главное отличие двух пунктов в том, что в первом трение действует не всё время контакта. Как только достигается чистое качение, трение обращается в нуль. Кроме того, поскольку соударение упругое и масса пола много больше массы мяча, \(v_y\) меняет знак после соударения. Итак, \(v_y = \sqrt{2gh}\); это одинаково в обоих случаях. Импульс нормальной силы равен \[\int N\,dt = m(\sqrt{2gh}-(-\sqrt{2gh})) = 2m\sqrt{2gh}.\] Пусть сила трения (как функция времени) равна \(f\) (в направлении \(-\hat\imath\)), конечная скорость по \(x\) — \(v_x\), а угловая скорость — \(\omega\). Поскольку точка контакта покоится, \(v_x = \omega R\). Импульс силы трения тогда равен \[J = \int f\,dt = m(v_0-v_x).\] Угловой импульс силы трения равен \[\int fR\,dt = \tfrac25mR^2\omega\ \Longrightarrow\ \int f\,dt = \tfrac25mv_x.\] Решая два последних уравнения, получаем \[\boxed{v_x = \tfrac57v_0},\qquad \boxed{\omega = \frac{5v_0}{7R}}.\]
(б) Здесь трение действует всё время контакта мяча с полом, причём \(f = \mu N\) всё время. Импульс силы трения \[J = \int\mu N\,dt = m(v_0-v_x)\ \Longrightarrow\ \boxed{v_x = v_0-2\mu v_y}.\] Наконец, угловой импульс силы трения равен \[\int\mu NR\,dt = \tfrac25mR^2\omega\ \Longrightarrow\ \boxed{\omega = \frac{5\mu\sqrt{2gh}}R}.\]