Шар катится вниз по наклонной плоскости. Найдите ускорение шара. Угол наклона плоскости \(\alpha\), коэффициент трения между шаром и плоскостью \(\mu\).
▶РешениеСкрыть
Если коэффициент трения \(\mu\) превышает некоторое значение, то шар начнёт катиться без проскальзывания и, соответственно, будет катиться с другим полным ускорением. Значит, прежде чем находить ускорение шара, нужно найти этот коэффициент трения и разбить ускорение на два случая.
Коэффициент трения можно найти, рассмотрев граничный случай трения покоя. Из \[ma = mg\sin\theta-F_s,\qquad I\varepsilon = F_sr\] получаем \(a = g\sin\theta-\frac{F_s}m\) и \(\varepsilon = \frac{F_sr}I\). При трении покоя проскальзывания нет, так что, объединяя через \(a = \varepsilon r\), получаем \[F_s = \frac{mIg\sin\theta}{I+mr^2}.\] Поскольку \(F_s\le F_{s,\max} = \mu mg\cos\theta\), угол, при котором качение без проскальзывания прекращается, находится из \[\frac{mIg\sin\theta}{I+mr^2} = \mu mg\cos\theta\ \Longrightarrow\ \tg\theta = \mu\frac{I+mr^2}I.\] Момент инерции шара относительно его центральной оси равен \(\frac25mr^2\), так что, подставляя, находим \[\mu = \frac I{I+mr^2}\tg\theta = \frac{\frac25mr^2}{\frac25mr^2+mr^2}\tg\theta = \tfrac27\tg\theta.\] Теперь у нас два случая.
Случай 1: \(\mu>\frac27\tg\theta\). Шар покатится по наклонной плоскости без проскальзывания. Мы знаем, что \(mg\sin\theta-f = ma\). Второй закон Ньютона для вращения даёт \[fr = I_{\text{цм}}\varepsilon\ \Longrightarrow\ f = \frac{I_{\text{цм}}a}{r^2} = \tfrac25ma.\] Подставляя этот результат в первое уравнение, \[mg\sin\theta-\tfrac25ma = ma\ \Longrightarrow\ \boxed{a = \tfrac57g\sin\theta}.\]
Случай 2: \(\mu<\frac27\tg\theta\). В этом случае шар просто скользит по наклонной плоскости, так что \[mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta = ma\ \Longrightarrow\ \boxed{a = g\sin\theta-\mu g\cos\theta}.\]