Брусок массы \(m = 10\) г кладут на доску, изготовленную так, что при скольжении
влево коэффициент трения равен \(\mu_1 = 0{,}3\), а при скольжении вправо —
\(\mu_2 = 0{,}5\). Доску многократно двигают влево-вправо согласно графику \(v(t)\)
(см. рис.). График периодичен с периодом \(T = 0{,}01\) с; скорость \(v\) доски
считается положительной, когда направлена вправо. Пользуясь графиком, найдите
среднюю скорость, с которой будет двигаться брусок.
▶РешениеСкрыть
Прежде всего заметим, что период колебаний \(T = 0{,}01\) с чрезвычайно мал, так что любым отклонением скорости, вызванным трением, можно пренебречь, если нас интересует только средняя скорость. Считаем, что брусок движется с постоянной скоростью \(u\) вправо (в положительном направлении). Разберём движение качественно.
Когда доска начинает двигаться вправо, важно заметить, что скорость бруска относительно доски направлена вправо, так что сила трения \(mg\mu_1\) направлена влево. Это длится время \(t_1\), пока скорость доски не сравняется со скоростью бруска и не превысит её. Затем в течение времени \(t_2\) доска достигает максимума скорости и замедляется вплоть до скорости \(u\). В этот период сила трения направлена вправо и равна \(mg\mu_2\). Наконец, в течение времени \(t_3 = t_1\) доска всё ещё движется вправо, но сила трения направлена влево. Полная длительность \(t_1+t_2+t_3 = T/2\).
Затем доска начинает двигаться влево. Сила трения здесь постоянна и равна \(mg\mu_1\), направлена влево и действует в течение времени \(t_4 = T/2\).
Теперь займёмся вычислениями. Работаем в предположении, что у бруска примерно постоянная средняя скорость. Если бы это было не так, силы трения разгоняли или тормозили бы его, пока движение не стало бы примерно равномерным. В результате полное изменение импульса равно нулю: \[(-mg\mu_1)t_1+(mg\mu_2)t_2+(-mg\mu_1)t_3+(-mg\mu_1)t_4 = 0.\] Полагая \(t_1 = t_3\), получаем \(\mu_2t_2 = \mu_1t_4+2\mu_1t_1\). Учитывая \(2t_1+t_2 = t_4\), имеем \[\mu_2(t_4-2t_1) = \mu_1t_4+2\mu_1t_1\ \Longrightarrow\ (\mu_2-\mu_1)t_4 = 2(\mu_1+\mu_2)t_1,\] т. е. \[t_1 = \frac{(\mu_2-\mu_1)t_4}{2(\mu_2+\mu_1)}.\] Поскольку \(t_4 = 0{,}005\) с, получаем \(t_1 = \frac{t_4}8\). Это восьмая часть половины периода, и она соответствует моменту, когда доска имеет ту же скорость, что и брусок. По графику это отвечает 0{,}64 м/с. С точностью до одной значащей цифры средняя скорость равна \[\boxed{v = 0{,}6\text{ м/с}}.\]