Водяная турбина состоит из большого числа лопастей, которые можно считать
лёгкими плоскими досками длины \(l\), прикреплёнными одним концом к вращающейся оси.
Свободные концы лопастей расположены на поверхности воображаемого цилиндра,
соосного с осью турбины. Струя воды со скоростью \(v\) и расходом \(\mu\) (кг/с)
направлена на турбину так, что попадает на лопасти вблизи обода турбины. Найдите
максимальную полезную мощность, которую можно получить с помощью такой турбины;
считайте, что лопастей достаточно много, так что ни одна порция воды не может
проскочить, не попав на лопасть.
▶РешениеСкрыть
Поскольку вода, движущаяся со скоростью \(v\), абсолютно неупруго сталкивается с лопастями, движущимися со скоростью \(u\), лопастям сообщается импульс \(dp = dm(v-u)\), так что сила на лопасть равна \(F = \mu(v-u)\), где в системе отсчёта лопасти \(\mu = \rho S(v-u)\). Мощность поэтому равна \[P = Fu = \rho S(v-u)^2u.\] Это можно максимизировать, взяв производную и приравняв её нулю: \[3u^2-4vu+v^2 = 0.\] Это даёт \(u = v/3\) или \(u = v\). Очевидно, \(u = v\) дало бы минимальную мощность, так что \(u = v/3\) даёт максимальную мощность \[P_{\max} = \tfrac4{27}\rho Sv^3.\] Возвращаясь в лабораторную систему, имеем \(\mu = \rho Sv\), т. е. \[\boxed{P_{\max} = \tfrac4{27}\mu v^2}.\]