Плоская доска наклонена под углом \(\alpha\) к вертикали. Один её конец
находится в воде, другой — вне воды. Доска движется со скоростью \(v\) вдоль своей
нормали. Какова скорость струи воды, направленной вверх по доске?
▶РешениеСкрыть
Заметим, что вектор скорости на рисунке нарисован неверно: он должен быть нормален к доске. Поскольку доска плоская, перейдём в систему отсчёта, где скорость доски параллельна её поверхности. Мы хотим также, чтобы линии тока воды были удобными, поэтому не хотим вертикальной компоненты скорости воды в новой системе. Итак, будем использовать систему, движущуюся со скоростью \(v/\cos\alpha\) влево: в ней скорость доски параллельна её поверхности (и потому ею можно пренебречь), а вода течёт горизонтально.
Постановка теперь очень похожа на задачу 53. Вода течёт к стенке со скоростью \(v/\cos\alpha\) вправо, и уравнение Бернулли вдоль линии тока у поверхности (постоянное давление, отсутствие заметного изменения высоты) говорит нам, что вода будет направлена с той же скоростью \(v/\cos\alpha\) вдоль поверхности доски.
Теперь, зная скорость воды в системе доски, вернёмся в лабораторную систему. Складывая векторы скоростей равного модуля \(v/\cos\alpha\) — один горизонтально влево, другой под углом \(\alpha\) к вертикали, — получаем \[\vec u = -\Bigl(\frac v{\cos\alpha}+v\tg\alpha\Bigr)\hat\imath+v\hat\jmath,\] \[\boxed{u = \frac v{\cos\alpha}\sqrt{2(1+\sin\alpha)} = \frac{2v}{\cos\alpha}\cos\Bigl(\frac\pi4-\frac\alpha2\Bigr)}.\]