Тележка с мотором используется для горизонтальной перевозки груза на расстояние \(L\). Груз прикреплён к боковой стенке тележки тросом длины \(l\). Половину времени тележка равноускоренно разгоняется, вторую половину — равнозамедленно тормозит. Найдите такие значения ускорения \(a\), при которых по прибытии в пункт назначения груз будет висеть неподвижно. Можно считать, что \(a\ll g\).
▶РешениеСкрыть
Прежде чем решать, разберёмся, что происходит. Когда вагонетка разгоняется, груз начинает колебаться вокруг нового равновесного угла \(\theta\). Этот угол очень мал, и потому можно считать, что колебания малые с амплитудой \(\theta\). Каждый раз, возвращаясь в вертикальное положение, груз оказывается неподвижным. Мы хотим, чтобы после прохождения расстояния \(L\) груз был именно в таком положении.
Утверждаем, что в момент, когда вагонетка начинает тормозить, груз тоже должен быть в вертикальном положении и неподвижен. Это потому, что как только начинается торможение, появляется новый равновесный угол \(-\theta\). Если мы хотим, чтобы амплитуды по модулю остались теми же, положение груза в момент начала торможения должно быть вертикальным.
С этим пониманием задачу решить нетрудно: достаточно рассмотреть половину пути. За время \(t\), за которое проходится расстояние \(L/2\), груз должен совершить \(N\) полных колебаний, т. е. \(t = NT\), где \(T = 2\pi\sqrt{\frac\ell{\sqrt{g^2+a^2}}}\) — период колебаний. Однако, поскольку \(a\ll g\), членом второго порядка можно пренебречь и переписать период стандартной формулой \(T = 2\pi\sqrt{\frac\ell g}\).
Время прохождения половины пути определяется простой кинематикой: \[\frac L2 = \frac12at^2\ \Longrightarrow\ t = \sqrt{\frac La}.\] Пользуясь сформулированным условием, связываем оба времени: \[\sqrt{\frac La} = 2\pi N\sqrt{\frac\ell g}\ \Longrightarrow\ \boxed{a = \frac{Lg}{N^24\pi^2\ell}}\] для всех натуральных \(N\) при условии \(a\ll g\).