Ударную волну можно считать разрывным скачком давления воздуха от значения
\(p_0\) до \(p_1\), распространяющимся со скоростью \(c_s\). Найдите скорость, которую
приобретёт под действием ударной волны (а) клиновидный брусок: призма высотой \(c\),
основание которой — прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\), сделанная из
материала плотности \(\rho\); б) тело произвольной формы объёма \(V\) и плотности
\(\rho\).
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим сначала случай треугольной призмы, глядя на силу, создаваемую ударной волной в конкретный момент. Сила, приложенная в любой точке, равна \[F = S(p_1-p_0),\] где \(S\) — площадь поперечного сечения в этой точке. Будем считать, что ударная волна проходит сквозь тело чрезвычайно быстро, так что весь процесс тело неподвижно и приходит в движение только с сообщённым импульсом после прохождения волны. Импульс тем самым равен \[J = \int S(p_1-p_0)\,dt,\] где \(dt = dx/c_s\), а площадь поперечного сечения меняется с \(x\) как \(S = c\bigl(-\frac ba x+b\bigr)\). Подставляя это, определяем изменение импульса: \[J = m\Delta v = \frac{c(p_1-p_0)}{c_s}\int_0^a\Bigl(-\frac ba x+b\Bigr)dx \ \Longrightarrow\ \Delta v = \frac{p_1-p_0}{mc_s}\Bigl(\frac{abc}2\Bigr).\] Заметим, однако, что объём треугольной призмы также равен \(V = \frac12abc\). Поэтому этот результат можно обобщить на произвольную форму. Как и раньше, импульс равен \[m\Delta v = \frac{p_1-p_0}{c_s}\int S(x)\,dx,\] где \(\int S(x)\,dx\) даёт объём. Следовательно, изменение скорости для любой формы, включая треугольную призму, после прохождения ударной волны равно \[\boxed{\Delta v = \frac{V(p_1-p_0)}{mc_s}}.\]