Белорусская, 2022/23, заключительный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Угловой размер Солнца мал: диаметр изображения и тени связаны с расстоянием через \(\alpha\). Интенсивность в фокусе линзы – энергия, собранная линзой, делённая на площадь изображения. Тень шара ограничена лучами, касающимися шара и краев диска Солнца; для интерференции важна разность хода от краев диска.

Ответ

1) \(L\approx0{,}54\) м;  2) \(I\approx2{,}2\cdot10^6\) Вт/м²;  3) \(H\approx620\) м (см. примечание в решении);  4) \(d<\dfrac{\lambda}{\alpha}\approx5{,}9\cdot10^{-5}\) м.

Решение

Сначала рассчитаем угловой размер Солнца в радианах \[\alpha=32'=\left(\frac{32}{60}\right)^\circ=\frac{\pi}{180}\left(\frac{32}{60}\right)\ \text{рад}=9{,}3\cdot10^{-3}\ \text{рад}.\qquad (1)\]

1. Рисунок показывает, как шарик может полностью зарыть диск Солнца, глаз находится в точке \(O\).

Из рисунка следует, что \[d=L\alpha\ \Rightarrow\ L=\frac{d}{\alpha}=0{,}54\ \text{м}.\qquad (2)\]

2. Как следует из рисунка, диаметр изображения Солнца на экране равен \[d=\alpha F.\qquad (3)\]

Поэтому энергия, попадающая на линзу в единицу времени, \(P=A\dfrac{\pi D^2}{4}\), распределяется по площади изображения \(P=I\dfrac{\pi d^2}{4}\). Поэтому интенсивность света, падающего на изображение, равна \[A\frac{\pi D^2}{4}=I\frac{\pi d^2}{4}\ \Rightarrow\ I=A\left(\frac{D}{d}\right)^2=A\left(\frac{D}{\alpha F}\right)^2\approx2{,}2\cdot10^6\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2}.\qquad (4)\]

3. Следующий рисунок показывает пространственные области тени и полутени, образуемые воздушным шаром.

Из рисунка следует, что длина области тени равна \[L=\frac{2R}{\alpha}.\qquad (5)\] Область тени будет достигать поверхности Земли, если высота подъема шара не превысит величину \[H=L\sin\beta=\frac{2R}{\alpha}\sin\beta\approx620\ \text{м}.\qquad (6)\]

4. Каждую точку поверхности Солнца можно рассматривать как точечный источник света, причем излучения этих точек не является когерентным. Следовательно, каждая точка поверхности создает свою интерференционную картину. Суммарное распределение интенсивно света на экране будет равно сумме интенсивностей, создаваемых каждой точкой поверхности Солнца. При переходе от центральной точки поверхности к точкам, расположенным на краю диска Солнца, между колебаниями в отверстиях будет возникать дополнительная разность фаз, которая, в свою очередь, приведет к сдвигу интерференционной картины. Интерференционная картина исчезнет, если при переходе от точки, лежащей на одном краю диска к диаметрально противоположной точке интерференционная картина сместится ровно на одну полосу. Найдем изменение разности хода при смещении светящейся точки от центра диска к его краю. На рисунке: \(A_1\), \(A_2\) – отверстия в экране, волны из которых образуют интерференционную картину; \(S_0\) – точка, лежащая в центре солнечного диска; \(S_1\) – точка лежащая, на краю диска Солнца; \(r_1\), \(r_2\) – расстояния от светящейся точки до щелей; \(R\) – радиус Солнца; \(L\) – расстояние от Солнца до Земли.

Если рассматриваемая точка лежит в центре диска (\(S_0\)), то разность хода до щелей равна нулю. Если точка сместится на расстояние \(R\), появится разность хода \(\Delta r=r_1-r_2\), которую можно рассчитать следующим образом. Из простых геометрических соображений можно записать \[r_1^2=L^2+\left(\frac{d}{2}+R\right)^2,\qquad r_2^2=L^2+\left(\frac{d}{2}-R\right)^2.\qquad (7)\] Вычтем из первого выражения второе \(r_1^2-r_2^2=2Rd\) и представим разность квадратов в виде \(r_1^2-r_2^2=(r_1-r_2)(r_1+r_2)\approx2L\Delta r\). Здесь учтено, \(R\ll L\), поэтому можно считать, что сумма расстояний примерно равна удвоенному расстоянию до Солнца. Следовательно, разность хода от периферийной точки до щелей равна \[\Delta r=\frac{Rd}{L}.\qquad (8)\] При переходе от одного края диска к другому разность хода изменяется на величину \[\left(\Delta r\right)_{\max}=\frac{2Rd}{L}=\alpha d.\qquad (9)\] При таком изменении разности хода интерференционная картина смещается на \[m=\frac{(\Delta r)_{\max}}{\lambda}=\frac{\alpha d}{\lambda}\] полос. Как было отмечено ранее, это смещение не должно превышать одной полосы, поэтому расстояние между отверстиями не должно превышать величины \[\frac{\alpha d}{\lambda}<1\ \Rightarrow\ d<\frac{\lambda}{\alpha}=5{,}9\cdot10^{-5}\ \text{м}.\qquad (10)\] Что примерно равно 0,06 мм, поэтому получить интерференционную картину, используя в качестве источника света Солнце практически невозможно!

Подсказка

Для части 1 используйте закон сохранения внутренней энергии (3) при расширении без работы. Для части 2 запишите первый закон термодинамики для всей порции газа с учетом работы поршней, газ охлаждается, если \(T_2<T_1\).

Ответ

1.1) А) \(\Delta T=0\); Б) \(T-T_0=\dfrac{a}{C_V}\left(\dfrac{1}{V}-\dfrac{1}{V_0}\right)\) (охлаждение);  1.2) кислород \(\Delta T\approx-2{,}4\) К, водород \(\Delta T\approx-0{,}43\) К;  2.1) \(T_2-T_1=\dfrac{1}{C_V+R}\left(\dfrac{RT_1\,b}{V_1-b}-\dfrac{2a}{V_1}\right)\);  2.2) охлаждение при \(T_1<\dfrac{2a}{Rb}\left(1-\dfrac{b}{V_1}\right)\), максимум \(T_{1\max}=\dfrac{2a}{Rb}\);  2.3) кислород \(T_{1\max}\approx1{,}0\cdot10^3\) К, водород \(T_{1\max}\approx2{,}2\cdot10^2\) К.

Решение

Часть 1. Адиабатическое расширение «в пустоту».

1.1 Так как при расширении в пустоту газ работы не совершает, и теплообмен отсутствует, то внутренняя энергия остается постоянной. Поэтому \[C_VT_0-\frac{a}{V_0}=C_VT_1-\frac{a}{V}.\qquad (1)\] Из этого уравнения находим изменение температуры газа \[T_1-T_0=\frac{a}{C_V}\left(\frac{1}{V}-\frac{1}{V_0}\right).\qquad (2)\] Если газ идеальный, то \(a=0\), поэтому температура газа изменяться не будет \(\Delta T=0\). Для газа Ван-дер-Ваальса изменение температуры определяется формулой (2). Так как газ расширяется (\(V>V_0\)), то температура газа будет уменьшаться.

1.2 Для численного расчета изменения температуры необходимо знать объемы газов до и после расширения. Т.е. выразить объем газа через его температуру и давление. Для этого следует решить уравнение \[P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}.\qquad (3)\] Относительно величины \(V\) это уравнение является уравнением третьей степени, решение которого затруднительно. Оценим, можно ли при расчете объема пренебречь поправками Ван-дер-Ваальса. Так как начальное давление задано с точностью до 2 значащих цифр, то погрешность этого значения составляет величину порядка 5

Рассчитаем значение объема газа, если считать его идеальным. В этом случае \[V_0=\frac{RT_0}{P_0}=2{,}5\cdot10^{-3}\ \frac{\text{м}^3}{\text{моль}}.\qquad (4)\] Отношение для кислорода \(\dfrac{b}{V_0}\approx1{,}3\cdot10^{-2}\) (для водорода еще меньше), поэтому поправкой \(b\) можно пренебречь. Аналогично оценим второе слагаемое в уравнении (3): \(\delta P=\dfrac{a}{V_0^2}\approx2\cdot10^4\) Па, относительно давления газа эта величина составляет примерно \(\dfrac{\delta P}{P_0}\approx0{,}02\), что также меньше допустимой погрешности расчетов, поэтому и этой поправкой можно пренебречь. После расширения численные величины поправок будут вносить еще меньший вклад, поэтому ими также можно пренебречь. Подставим формулу для объема (4) в выражение (2): \[T_1-T_0=\frac{a}{C_V}\left(\frac{1}{V}-\frac{1}{V_0}\right)=\frac{a}{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_1}-\frac{P_0}{RT_0}\right).\qquad (5)\] В этом выражении второе слагаемое превышает первое примерно в 10 раз, поэтому изменение температуры можно оценить, пренебрегая первым слагаемым, эта оценка дает следующее значение \[T_1-T_0\approx\frac{a}{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_1}-\frac{P_0}{RT_0}\right)\approx-\frac{a}{C_VV_0}\approx3\ \text{К}.\qquad (6)\] Таким образом, \(\dfrac{\Delta T}{T_0}\approx0{,}01\), поэтому в левой части формулы (5) можно положить \(T_1=T_0\), тогда окончательно получим \[T_1-T_0\approx\frac{a}{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_0}-\frac{P_0}{RT_0}\right)\approx-\frac{a}{C_VRT_0}\left(P_0-P_1\right).\qquad (7)\] Численные расчеты дают следующие значения: для кислорода \(\Delta T=-2{,}4\) К;   (8) для водорода \(\Delta T=-0{,}43\) К.   (9)

Часть 2. Дросселирование.

2.1 В соответствии с первым законом термодинамики изменение внутренней энергии газа равно разности работы, совершенной поршнем П1 над газом \(A_1=P_1V_1\) и работы, совершенной газом над поршнем П2 \(A_2=P_2V_2\): \[U_2-U_1=P_1V_1-P_2V_2.\qquad (10)\] После перегородки газ подчиняется уравнению состояния идеального газа, поэтому \[P_2V_2=RT_2,\qquad U_2=C_VT_2.\qquad (11)\] Также используем выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса. Тогда уравнение (10) принимает вид \[C_VT_2-\left(C_VT_1-\frac{a}{V_1}\right)=P_1V_1-RT_2.\qquad (12)\] Из уравнения Ван-дер-Ваальса получим \[P_1V_1=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-\frac{a}{V_1}.\qquad (13)\] И продолжим преобразования формулы (12): \[\left(C_V+R\right)T_2-C_VT_1-RT_1=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-RT_1-\frac{2a}{V_1}\ \Rightarrow\ \left(C_V+R\right)\left(T_2-T_1\right)=RT_1\frac{b}{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}.\qquad (14)\] Окончательно находим требуемую формулу для изменения температуры \[T_2-T_1=\frac{1}{C_V+R}\left(\frac{RT_1\,b}{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}\right).\qquad (15)\]

2.2 Газ охлаждается, если \(T_2<T_1\), что выполняется, если \[RT_1\frac{b}{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}<0.\qquad (16)\] Или при \[T_1<\frac{2a}{Rb}\left(1-\frac{b}{V_1}\right).\qquad (17)\] Эта температура будет максимальна, если \(V_1\gg b\). В этом случае \[T_{1\max}<\frac{2a}{Rb}.\qquad (18)\]

2.3 Подстановка численных значений дает следующие результаты: для кислорода \(T_{1\max}=1{,}0\cdot10^3\) К; для водорода \(T_{1\max}=2{,}2\cdot10^2\) К.

Обратите внимание, кислород в ходе дросселирования начинает охлаждаться при комнатной температуре, для охлаждения водорода при дросселировании его предварительно необходимо охладить до температуры порядка \(-100\ ^\circ C\).

Подсказка

Скорость течения получается из расхода через сечение сосуда; время движения – делением длины на скорость; формула Пуазейля даёт разность давлений. Скачок давления на стыке труб с разными сечениями – из уравнения Бернулли с учетом сохранения расхода.

Ответ

1.1.1) \(v=\dfrac{q}{\pi R^2}\);  1.1.2) \(t=\dfrac{\pi R^2L}{q}\);  1.1.3) \(\Delta P=\dfrac{8\eta L}{\pi R^4}\,q\);  1.2) \(\delta P=\dfrac{\rho q^2}{2\pi^2}\left(\dfrac{1}{R_2^4}-\dfrac{1}{R_1^4}\right)\);  1.3) \(q=\dfrac{\sqrt{b^2+a\Delta P}-b}{a}\), \(a=\dfrac{\rho}{2\pi^2}\left(\dfrac{1}{R_2^4}-\dfrac{1}{R_1^4}\right)\), \(b=\dfrac{4\eta}{\pi}\left(\dfrac{l_1}{R_1^4}+\dfrac{l_2}{R_2^4}\right)\);  1.4) \(\delta P=\dfrac{\rho q^2}{2\pi^2}\left(\dfrac{1}{n^2R_2^4}-\dfrac{1}{R_1^4}\right)\);  2.1) см. таблицу 2 (решение);  2.2) сумма разностей давлений около 13 кПа, примерно 100 мм рт. ст.; предполагается роль мышц-«микронасосов».

Решение

Часть 1. Предварительные расчеты.

1.1 Формулы:

1.1.1 Расход жидкости может быть выражен формулой \[q=vS,\qquad (1)\] где \(S=\pi R^2\) – площадь поперечного сечения трубы, \(v\) – средняя по поперечному сечению скорость течения, которая может быть выражена через расход жидкости, как \[v=\frac{q}{S}=\frac{q}{\pi R^2}.\qquad (2)\]

1.1.2 Очевидно, что время движения жидкости по трубе равно \[t=\frac{L}{v}=\frac{\pi R^2L}{q}.\qquad (3)\] Это же выражение может быть представлено, как объем трубы, деленный на расход жидкости \(t=\dfrac{V}{q}\).

1.1.3 Из формулы Пуазейля легко выразить разность давлений через расход жидкости \[\Delta P=\frac{8\eta L}{\pi R^4}\,q.\qquad (4)\]

1.2 Обозначим скорость течения жидкости в первой трубе \(v_1\), во второй – \(v_2\); площади поперечных сечений – \(S_1\), \(S_2\), давления в трубах \(P_1\), \(P_2\). Так как жидкость является идеальной, то давление изменяется скачком только в области стыка двух труб. Рассмотрим порцию жидкости, находящуюся между двумя произвольно выбранными сечениями (одно в широкой части трубы, второе в узкой части). Пусть за малый промежуток времени первое сечение сместилось на расстояние \(\Delta x_1\), тогда второй сечение сместится на расстояние \(\Delta x_2\). Так как жидкость несжимаема, то выполняется соотношение

\[\Delta V=S_1\Delta x_1=S_2\Delta x_2.\qquad (5)\] Эта величина имеет смысл объема, протекшего через поперечное сечение трубы за рассматриваемый промежуток времени. Скорость этой порции жидкости изменилась от \(v_1\) до \(v_2\). Следовательно, возросла и кинетическая энергия этой порции жидкости. Изменение кинетической энергии обусловлено работой внешних сил (т.е. сил давления жидкости на выделенную порцию), поэтому можно записать: \[P_1S_1\Delta x_1-P_2S_2\Delta x_2=\frac{1}{2}\rho S_1\Delta x_1\left(v_2^2-v_1^2\right).\qquad (6)\] Учитывая соотношение (5), получим уравнение (которое фактически является уравнением Бернулли): \[P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho\left(v_2^2-v_1^2\right).\qquad (7)\] Скорости течения жидкости выразим через расход жидкости \(v=\dfrac{q}{S}\) и подставим в уравнение (7): \[\Delta P=P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho q^2\left(\frac{1}{S_2^2}-\frac{1}{S_1^2}\right)=\frac{1}{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right).\qquad (8)\]

1.3 При течении вязкой жидкости давление изменяется и в пределах трубы постоянного течения. Обозначим давления в различных сечениях, как показано на рисунке.

Запишем уравнения для изменения давлений на всех участках составной трубы (используя формулы (4) и (8)): \[P_1-P_1'=\frac{8\eta l_1}{\pi R_1^4}\,q,\qquad P_1'-P_2'=\frac{1}{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right),\qquad P_2'-P_2=\frac{8\eta l_2}{\pi R_2^4}\,q.\qquad (9)\] И просуммируем эти выражения: \[P_1-P_2=\frac{1}{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right)+\frac{8\eta l_1}{\pi R_1^4}q+\frac{8\eta l_2}{\pi R_2^4}q.\qquad (10)\] В результате чего получаем квадратное уравнение, правда с громоздкими коэффициентами: \[\frac{1}{2\pi^2}\rho\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right)q^2+\frac{8\eta}{\pi}\left(\frac{l_1}{R_1^4}+\frac{l_2}{R_2^4}\right)q-\Delta P=0.\qquad (11)\] При решении этого уравнения следует выбрать положительный корень: \[q=\frac{\sqrt{b^2+a\,\Delta P}-b}{a},\qquad (12)\] где \[a=\frac{1}{2\pi^2}\rho\left(\frac{1}{R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right);\qquad b=\frac{4\eta}{\pi}\left(\frac{l_1}{R_1^4}+\frac{l_2}{R_2^4}\right).\]

1.4 При решении этой задачи можно повторить все рассуждения п.1.2, а в окончательной формуле (8) под \(S_2\) следует понимать суммарную площадь всех присоединенных труб, поэтому \[\delta P=P_1-P_2=\frac{1}{2}\rho q^2\left(\frac{1}{S_2^2}-\frac{1}{S_1^2}\right)=\frac{\rho q^2}{2\pi^2}\left(\frac{1}{n^2R_2^4}-\frac{1}{R_1^4}\right).\qquad (13)\] Заметим, что эта разность давлений может быть отрицательной.

Часть 2. Характеристики кровотока в артериальной системе человека.

2.1.1 – 2.1.5 Для расчета требуемых характеристик следует воспользоваться уже полученными формулами, которые следует слегка модернизировать с учетом числа сосудов в каждой группе. Приведем эти формулы, необходимые для расчетов: Расход крови через один сосуд в группе: \[q_i=\frac{q_0}{n_i},\qquad (14)\] где \(q_0=6{,}0\ \dfrac{\text{л}}{\text{мин}}=6{,}0\cdot\dfrac{10^{-3}\ \text{м}^3}{60\ \text{с}}=1{,}0\cdot10^{-4}\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{с}}\) – суммарный расход крови.

Площадь поперечного сечения сосуда в группе: \[S_i=\frac{\pi d_i^2}{4}.\qquad (15)\] Средняя скорость течения крови в сосуде: \[v_i=\frac{q_i}{S_i}.\qquad (16)\] Время движения через сосуд: \[t_i=\frac{l_i}{v_i}.\qquad (17)\] Разность давлений на концах сосуда: \[\Delta P_i=\frac{8\eta l_i}{\pi R_i^4}q_i=\frac{8\pi\eta l_i}{\left(\pi R_i^2\right)^2}q_i=8\pi\eta\frac{l_i}{S_i^2}q_i.\qquad (18)\] Скачок давлений на стыке сосудов: \[\delta P_i=\frac{1}{2\pi^2}\rho q_i^2\left(\frac{1}{\left(\dfrac{n_{i+1}}{n_i}\right)^2R_{i+2}^4}-\frac{1}{R_i^4}\right)=\frac{\rho q_0^2}{2}\left(\frac{1}{\left(n_{i+1}S_{i+1}\right)^2}-\frac{1}{\left(n_iS_i\right)^2}\right).\qquad (19)\] Интересно отметить, что при замкнутом круге обращения (когда суммарные площади сечений в начале и конце цикла равны) сумма этих скачков давлений равна нулю. Суммарные характеристики рассчитываются очевидным способом, как суммы соответствующих характеристик в каждой группе.

Результаты расчетов по приведенным формулам приведены в Таблице 2.

Общее время движения крови по артериальной системе равно 2,0 с. Разность давлений на входе и выходе из артериальной системы (сумма двух последних столбцов) равна 13 кПа, что примерно равно 100 мм рт. ст. Следует отметить, что скачки давлений в местах разветвления сосудов, во-первых, отрицательны (т.к. общая площадь поперечных сечений сосудов в каждой группе увеличивается); во-вторых, не слишком значительны.

2.2 Разумно считать, что разность давлений в венозной системе также примерно равна 100 мм рт. ст. Поэтому суммарное давление, которое должно создавать сердце, примерно в два раза превышает реальное сердечное давление. Основная причина такого существенного расхождения заключается в том, что сосуды функционируют гораздо сложнее, чем жесткие трубки. Они проходят через различные мышцы тела, которые могут способствовать лучшему протеканию крови, т.е. работают как своеобразные «микронасосы».