Белорусская, 2024/25, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Что происходит. Магнит, движущийся в алюминиевой трубке, наводит в стенках вихревые токи, и эти токи тормозят его силой, пропорциональной скорости. Сила тяжести вдоль трубки постоянна, сила торможения растёт со скоростью, поэтому очень быстро наступает равновесие — шарик едет с постоянной скоростью, как и сказано в примечании. Измеряя эту скорость при разных наклонах, мы сравниваем «вдоль-трубочную» часть силы тяжести с силой вязкости и находим \(\beta\) и коэффициент трения.

Обозначения. \(L=50{,}0\) см — длина трубки; \(\alpha\) — её угол с горизонтом, \(\sin\alpha=h/L\); \(t\) — время движения по трубке; \(V\) — скорость; \(m\) — масса одного шарика; \(\beta\) — коэффициент вязкости (1). Ниже приведён пример измерений и обработки: числа взяты из решения организаторов, у вас они будут другими, но метод тот же.

Часть 1. Скатывание.

1.1. Движение равномерное, шарик проходит всю трубку длиной \(L\) за время \(t\): \[V=\frac{L}{t}. \tag{4}\]

1.2. Опыт и график. Порядок такой: устанавливаем нужную высоту \(h\) (линейкой 4 измеряем высоту верхнего края деревянной линейки над столом), опускаем шарик в верхний конец и секундомером измеряем время выхода из нижнего (под ним — стакан). На каждой высоте — 5 измерений, берём среднее \(\bar t\) и считаем \(V=L/\bar t\). Высоты берём примерно от 10 до 22 см: ниже шарик может остановиться из-за трения, выше он едет слишком быстро для точного замера времени.

\[\begin{array}{|c|ccccc|c|c|}\hline h,\ \text{см} & t_1 & t_2 & t_3 & t_4 & t_5 & \bar t,\ \text{с} & V,\ \text{см/с}\\ \hline 10{,}2 & 8{,}63 & 8{,}70 & 8{,}65 & 8{,}61 & 8{,}62 & 8{,}642 & 5{,}79 \\ 12{,}4 & 6{,}45 & 6{,}60 & 6{,}47 & 6{,}46 & 6{,}45 & 6{,}486 & 7{,}71 \\ 14{,}5 & 4{,}97 & 5{,}04 & 5{,}09 & 4{,}92 & 5{,}09 & 5{,}022 & 9{,}96 \\ 16{,}8 & 4{,}38 & 4{,}64 & 4{,}51 & 4{,}32 & 4{,}48 & 4{,}466 & 11{,}20 \\ 19{,}1 & 3{,}64 & 3{,}69 & 3{,}77 & 3{,}66 & 3{,}72 & 3{,}696 & 13{,}53 \\ 22{,}4 & 3{,}08 & 3{,}11 & 3{,}10 & 3{,}12 & 3{,}14 & 3{,}110 & 16{,}08 \\ \hline\end{array}\]

1.3. Погрешность скорости (для \(h=12{,}4\) см). Время — прямое измерение. Оценка по серии из \(N=5\) измерений (с коэффициентом 2, примерно доверительная вероятность 95 %): \[\Delta t=2\sqrt{\frac{\sum_k(t_k-\langle t\rangle)^2}{N(N-1)}}=0{,}057\ \text{с},\qquad \varepsilon_t=\frac{\Delta t}{\bar t}=\frac{0{,}057}{6{,}486}=0{,}9\,\%.\] Длина трубки измерена с точностью 0,1 мм: \(\varepsilon_L=0{,}02\,\%\), это много меньше \(\varepsilon_t\) и не учитывается. Так как \(V=L/t\), относительная погрешность скорости та же, и \[\Delta V=\varepsilon_t V=0{,}009\cdot7{,}71\approx0{,}07\ \frac{\text{см}}{\text{с}}.\]

1.4. Применима ли формула (1) и можно ли пренебречь трением. Шарик движется равномерно, значит, силы вдоль трубки уравновешены. Если действует только сила вязкости (1), то из второго закона Ньютона в проекции на трубку \[\beta V=mg\sin\alpha=mg\,\frac hL . \tag{5}\] То есть \(V\) должна быть прямо пропорциональна \(h\). На графике точки действительно ложатся на прямую — формула (1) применима. Но прямая не проходит через начало координат: при \(h\approx3\) см скорость обращается в нуль, при меньших \(h\) шарик вообще не движется. Это сила трения (качения, о стенки трубки): с ней \(\beta V=mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}\). Сдвиг \(V_c=-2{,}6\) см/с — это 20–45 % от измеренных скоростей, поэтому пренебречь трением нельзя.

1.5. Отношение \(F_0/(mg)\). Из (5) наклон графика равен \(K=\dfrac{mg}{\beta L}\) (постоянная сила трения сдвигает прямую, но не меняет наклон, поэтому берём именно наклон). Тогда \[\beta=\frac{mg}{KL}\quad\Rightarrow\quad \frac{F_0}{mg}=\frac{\beta V_0}{mg}=\frac{V_0}{KL}=\frac{1{,}0}{0{,}84\cdot50}\approx2{,}4\cdot10^{-2}.\] Наклон \(K=0{,}84\pm0{,}05\) с\(^{-1}\) получен по МНК (погрешность с коэффициентом 2 как в 1.3), так что \(F_0/(mg)=(2{,}4\pm0{,}2)\cdot10^{-2}\). Это значит, что при скорости 1 см/с сила вязкости составляет всего 2 % от веса шарика.

Часть 2. Соскальзывание двух шариков.

2.1–2.2. Линеаризация. Теперь трубочка с шариками соскальзывает с трением о алюминиевую трубку. Эксперимент — как в части 1, высоты берём побольше (25–45 см), потому что трение удерживает трубочку на малых наклонах. Равномерное движение (второй закон Ньютона в проекции на трубку; \(N=mg\cos\alpha\) — по нормали к трубке): \[\beta V=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha ,\qquad\text{или}\qquad \frac{V}{\cos\alpha}=\frac{mg}{\beta}\,(\operatorname{tg}\alpha-\mu). \tag{6}\] Здесь \(m\) — масса трубочки с шариками, \(\beta\) — вязкость для этих двух шариков. Обратите внимание: углы большие (\(\sin\alpha\) до 0,9), поэтому \(\cos\alpha\ne1\) и малыми углами пользоваться нельзя. Из (6) видна линеаризация (2): \[Y=\frac{V}{\cos\alpha},\qquad X=\operatorname{tg}\alpha,\qquad a=\frac{mg}{\beta},\qquad b=-a\mu .\] Тригонометрические функции считаем по измеренной высоте: \[\sin\alpha=\frac hL,\quad \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

\[\begin{array}{|c|ccccc|c|c|}\hline h,\ \text{см} & t_1 & t_2 & t_3 & t_4 & t_5 & \bar t,\ \text{с} & V,\ \text{см/с}\\ \hline 25{,}5 & 5{,}60 & 5{,}78 & 5{,}44 & 5{,}61 & 5{,}74 & 5{,}634 & 8{,}87 \\ 26{,}7 & 5{,}41 & 5{,}61 & 5{,}48 & 5{,}41 & 5{,}54 & 5{,}490 & 9{,}11 \\ 29{,}5 & 4{,}02 & 3{,}86 & 3{,}91 & 4{,}05 & 3{,}99 & 3{,}966 & 12{,}61 \\ 35{,}8 & 2{,}79 & 2{,}58 & 2{,}60 & 2{,}78 & 2{,}69 & 2{,}688 & 18{,}60 \\ 40{,}2 & 2{,}19 & 2{,}13 & 2{,}29 & 2{,}19 & 2{,}07 & 2{,}174 & 23{,}00 \\ 44{,}7 & 1{,}84 & 1{,}90 & 1{,}87 & 1{,}84 & 1{,}86 & 1{,}862 & 26{,}85 \\ \hline\end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline h,\ \text{см} & V,\ \text{см/с} & \sin\alpha & \cos\alpha & X=\operatorname{tg}\alpha & Y=V/\cos\alpha,\ \text{см/с}\\ \hline 25{,}5 & 8{,}87 & 0{,}510 & 0{,}860 & 0{,}593 & 10{,}3 \\ 26{,}7 & 9{,}11 & 0{,}534 & 0{,}845 & 0{,}632 & 10{,}8 \\ 29{,}5 & 12{,}61 & 0{,}590 & 0{,}807 & 0{,}731 & 15{,}6 \\ 35{,}8 & 18{,}60 & 0{,}716 & 0{,}698 & 1{,}026 & 26{,}6 \\ 40{,}2 & 23{,}00 & 0{,}804 & 0{,}595 & 1{,}352 & 38{,}7 \\ 44{,}7 & 26{,}85 & 0{,}894 & 0{,}448 & 1{,}995 & 59{,}9 \\ \hline\end{array}\]

2.3. Значение \(\mu\) по графику. Из (6) \(Y=0\) при \(X=\mu\): коэффициент трения — координата пересечения прямой с осью \(X\), \(\mu\approx0{,}30\).

2.4. Точный расчёт и погрешность. Коэффициенты прямой находим по МНК: \[a=(35{,}8\pm1{,}5)\ \frac{\text{см}}{\text{с}},\qquad b=-(10{,}8\pm1{,}7)\ \frac{\text{см}}{\text{с}}.\] Тогда \(\mu=-b/a=0{,}30\), а относительные погрешности складываются как независимые: \[\Delta\mu=\mu\sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2+\left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2}=0{,}30\sqrt{0{,}042^2+0{,}157^2}\approx0{,}05,\] \[\mu=0{,}30\pm0{,}05\quad(\varepsilon\approx16\,\%).\] Основной вклад даёт \(b\): пересечение с осью \(X\) определено хуже, чем наклон.

Часть 3. Зависимость силы от числа магнитов.

3.1. Опыт. Высота верха трубки около 30 см, число шариков \(n=1\ldots5\) в пластиковой трубочке, по 5 измерений времени.

\[\begin{array}{|c|ccccc|c|c|c|c|}\hline n & t_1 & t_2 & t_3 & t_4 & t_5 & \bar t,\ \text{с} & V,\ \text{см/с} & \ln n & \ln V\\ \hline 1 & 4{,}62 & 4{,}54 & 4{,}50 & 4{,}56 & 4{,}50 & 4{,}544 & 11{,}0 & 0{,}000 & 2{,}398 \\ 2 & 3{,}69 & 3{,}71 & 3{,}74 & 3{,}75 & 3{,}70 & 3{,}718 & 13{,}4 & 0{,}693 & 2{,}599 \\ 3 & 3{,}08 & 3{,}04 & 3{,}10 & 3{,}04 & 3{,}10 & 3{,}072 & 16{,}3 & 1{,}099 & 2{,}790 \\ 4 & 2{,}57 & 2{,}55 & 2{,}46 & 2{,}51 & 2{,}48 & 2{,}514 & 19{,}9 & 1{,}386 & 2{,}990 \\ 5 & 2{,}29 & 2{,}21 & 2{,}27 & 2{,}25 & 2{,}20 & 2{,}244 & 22{,}3 & 1{,}609 & 3{,}104 \\ \hline\end{array}\]

3.2. Показатель \(\gamma\). Уравнение равномерного движения трубочки: вязкая сила \(\beta_1n^{\gamma}V\) уравновешивает составляющую силы тяжести минус трение, обе пропорциональны числу шариков (массой самой трубочки пренебрегаем): \(\beta_1n^{\gamma}V=nmg\,(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\). Отсюда \[V=A\,n^{1-\gamma},\qquad A=\frac{mg\,(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)}{\beta_1}.\] Корневой вид графика \(V(n)\) подсказывает \(1-\gamma=\tfrac12\), то есть \(\gamma\approx\tfrac12\). Точнее — прологарифмировать: \(\ln V=(1-\gamma)\ln n+\ln A\), и по наклону прямой в координатах \(\ln n\), \(\ln V\) найти показатель.

По МНК наклон равен \(1-\gamma=0{,}44\pm0{,}09\), откуда \(\gamma=0{,}56\pm0{,}09\). Предположение \(\gamma=1/2\) укладывается в погрешность — сила магнитной вязкости растёт с числом магнитов медленнее, чем их число (\(n^{1/2}\) при \(n^1\) у силы тяжести).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Что происходит. Во всех опытах работают одни и те же физические идеи, а измеряются лишь счёт капель, пузырьков и показания шкалы шприца. Капля отрывается, когда её вес сравнивается с силой поверхностного натяжения на шейке; пузырёк — когда сила Архимеда сравнивается с той же силой. Коэффициент поверхностного натяжения воды падает с температурой, поэтому в горячей воде и капли, и пузырьки меньше. В опытах 3–4 воздух в шприце — смесь сухого воздуха и насыщенного водяного пара, и пар вносит заметную поправку: из-за неё «абсолютный нуль» получается совсем не \(-273\,^\circ\)C, а давление пара можно оценить, пересчитывая баланс воздуха.

Данные. В условии нет результатов измерений: ученик снимает их сам. Ниже приведены условные данные измерений — пример обработки с реалистичными числами; метод и формулы от чисел не зависят. Атмосферное давление в примере \(P_0=99{,}5\) кПа, комнатная температура \(t_{\text{к}}=20\,^\circ\)C. Значения \(\sigma\) воды и давления насыщенного пара взяты из таблиц только для сверки результата.

Часть 1. Капли.

Как измерять. Весов нет, поэтому массу капли находим по объёму: в шприце наполовину налита вода, поршень нажимаем медленно, чтобы капли падали по одной. Считаем число капель \(N\), пока показания шкалы шприца уменьшатся на \(\Delta V=5{,}0\) мл (шкала — с ценой деления 1 мл, отсчёт \(\pm0{,}1\) мл). Масса одной капли \[m=\frac{\rho\,\Delta V}{N},\] где \(\rho\) — плотность воды при её температуре (из таблицы; при требуемой точности можно взять \(\rho_0\)). Температуру воды измеряют электронным термометром, горячую воду держат в калориметре, чтобы она не остыла за время опыта. Шприц предварительно прогревают — иначе вода в нём остынет.

1.1. Результаты (пример).

• холодная вода, \(t=20\,^\circ\)C: \(N=102\) капли, \(m=\dfrac{0{,}998\cdot5{,}0\ \text{г}}{102}=0{,}049\) г;
• горячая вода, \(t=65\,^\circ\)C: \(N=114\) капель, \(m=\dfrac{0{,}981\cdot5{,}0\ \text{г}}{114}=0{,}043\) г.

Погрешность: отсчёт объёма \(0{,}1/5{,}0=2\,\%\), счёт капель \(\pm1\) из 100 — \(1\,\%\), вместе около \(2{,}5\,\%\) (т.е. \(\pm0{,}001\) г).

1.2. Объяснение. В момент отрыва вес капли уравновешен силой поверхностного натяжения, действующей по контуру шейки диаметром \(d\) (рисунок): \(mg\approx\pi d\,\sigma\). Из опыта получаем \(d=\dfrac{mg}{\pi\sigma}\); с \(\sigma_{20}=0{,}0728\) Н/м и \(\sigma_{65}=0{,}0645\) Н/м находим \(d\approx2{,}1\) мм в обоих опытах — это размер носика шприца, и он не зависит от температуры. Значит, различие масс (на 12 %) объясняется именно уменьшением \(\sigma\) при нагревании: \(m_{65}/m_{20}=0{,}88\approx\sigma_{65}/\sigma_{20}=0{,}89\). Масса капли зависит от: коэффициента поверхностного натяжения (то есть от температуры, чистоты воды, примесей), размера и смачиваемости носика (диаметра шейки), и мало — от скорости образования (при медленном нажатии).

Часть 2. Пузырьки.

Как измерять. Шприц с водой держим вертикально носиком вниз, медленно выдвигаем поршень и считаем число пузырьков \(N\), вошедших в шприц, пока объём внутри увеличился на \(\Delta V=2{,}0\) мл. Воздух входит при давлении почти равном атмосферному, и весь добавленный объём — это объём пузырьков, поэтому \[v=\frac{\Delta V}{N}.\] 2.1. Результаты (пример). \(t=20\,^\circ\)C: \(N=41\), \(v=\dfrac{2{,}0}{41}=0{,}049\) мл; \(t=65\,^\circ\)C: \(N=46\), \(v=\dfrac{2{,}0}{46}=0{,}043\) мл. Погрешность около \(5\,\%\) (отсчёт объёма \(0{,}1/2{,}0\)).

2.2. Объяснение. Пузырёк отрывается, когда сила Архимеда \(\rho gv\) сравнивается с силой поверхностного натяжения по шейке: \(\rho gv\approx\pi d\sigma\), отсюда \(v=\dfrac{\pi d\sigma}{\rho g}\). С \(d=2{,}1\) мм из части 1: \(v_{20}=\dfrac{\pi\cdot2{,}1\cdot10^{-3}\cdot0{,}0728}{998\cdot9{,}81}\approx0{,}049\) мл, \(v_{65}\approx0{,}044\) мл — совпало с опытом. Объём пузырька зависит от \(\sigma\) (температура, чистота воды), диаметра отверстия, глубины (давление), и слабо — от скорости вытягивания поршня.

Часть 3. Давление насыщенного пара.

Идея. Горячая вода в шприце насыщает воздух паром. Пока вода остывает, пар конденсируется, давление внутри падает ниже атмосферного, и внешний воздух входит в шприц пузырьками. Входит ровно столько воздуха, сколько нужно, чтобы давление снова стало атмосферным: подсчёт этого воздуха и даёт давление пара.

Как измерять. Берём \(V_{\text{в}}=10{,}0\) мл горячей воды (\(t_{\text{г}}=62\,^\circ\)C, термометр в калориметре с водой) и столько же воздуха, \(V=10{,}0\) мл, поршень закрепляем (воздух входит снизу). Считаем пузырьки, пока вода остывает до комнатной температуры \(t_{\text{к}}=20\,^\circ\)C; затем записываем конечный объём воздуха.

3.1. Результаты (пример). Вошло \(n=64\) пузырька (по 0,049 мл — из части 2 для холодной воды, где они образовались). Объём воздуха по шкале в конце — тот же, \(V=10{,}0\) мл, с точностью отсчёта \(\pm0{,}3\) мл. Так и должно быть: поршень закреплён, воды в шприце столько же (она остыла и сжалась на 1,5 %, то есть на \(0{,}15\) мл, что меньше погрешности отсчёта), вытекать ей некуда. Объём воздуха не изменился, но воздуха — количество вещества — стало больше за счёт вошедших пузырьков: суммарно пузырьки при атмосферном давлении занимали \(nv=64\cdot0{,}049=3{,}1\) мл.

3.2. Давление пара. Составим баланс воздуха (сухого). Вначале газ над водой — смесь воздуха и насыщенного пара при давлении \(P_0\) и температуре \(T_{\text{г}}\); парциальное давление воздуха \(P_0-P_{\text{н}}\), где \(P_{\text{н}}\) — искомое давление пара. Уравнение состояния для воздуха: \[\nu_1=\frac{(P_0-P_{\text{н}})\,V}{RT_{\text{г}}}.\] В конце вода холодная, давлением пара по условию пренебрегаем, и в том же объёме \(V\) воздух при давлении \(P_0\) (внутри и снаружи давления выравнялись): \[\nu_2=\frac{P_0V}{RT_{\text{к}}}.\] Добавился воздух, вошедший пузырьками: каждый имел объём \(v\) при давлении \(P_0\) и температуре \(T_{\text{к}}\), всего \(nv\): \[\nu_2-\nu_1=\frac{P_0\,nv}{RT_{\text{к}}}.\] Подставляем и находим \[\frac{P_0V}{RT_{\text{к}}}-\frac{(P_0-P_{\text{н}})V}{RT_{\text{г}}}=\frac{P_0nv}{RT_{\text{к}}} \quad\Rightarrow\quad P_{\text{н}}=P_0\left[1-\Bigl(1-\frac{nv}{V}\Bigr)\frac{T_{\text{г}}}{T_{\text{к}}}\right].\] Числа: \(\dfrac{nv}{V}=0{,}31\), \(\dfrac{T_{\text{г}}}{T_{\text{к}}}=\dfrac{335{,}2}{293{,}2}=1{,}143\): \[P_{\text{н}}=99{,}5\cdot\bigl[1-0{,}69\cdot1{,}143\bigr]\approx21\ \text{кПа}.\] Погрешность. Вклады: число пузырьков (\(\pm3\) из 64) и их объём (\(\pm5\,\%\)), отсчёт объёма воздуха (\(\pm0{,}3\) мл из 10), температуры (\(\pm0{,}5\) К). По правилу сложения случайных погрешностей получаем \(P_{\text{н}}=21\pm3\) кПа (с коэффициентом 2). Табличное значение при 62 \(^\circ\)C — около 22 кПа, то есть в пределах погрешности.

Часть 4. «Абсолютный нуль температуры».

Как измерять. Берём \(V_1=12{,}0\) мл воздуха и немного горячей воды (\(t_1=62\,^\circ\)C). Опускаем носик шприца в холодную воду (\(t_2=18\,^\circ\)C) и ждём, пока шприц остынет: вода из стакана поднимается в шприце. Объём воздуха \(V_2\) по шкале после остывания: \(V_2=8{,}3\) мл. Атмосферное давление за время опыта постоянно, а внутри его уравнивает входящая вода — процесс изобарный.

4.1. Расчёт. Если считать, что весь газ в шприце — идеальный газ при постоянном давлении (закон Гей-Люссака), то объём линейно зависит от температуры в градусах Цельсия: \(V=V_0\,(1+\alpha t)\), а он обращается в нуль при \(t_0=-1/\alpha\). Проведём через две точки \((t_1,V_1)\) и \((t_2,V_2)\) прямую и найдём её пересечение с осью \(t\): \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{t_2-t_0}{t_1-t_0}\quad\Rightarrow\quad t_0=\frac{V_2t_1-V_1t_2}{V_2-V_1}=\frac{8{,}3\cdot62-12{,}0\cdot18}{8{,}3-12{,}0}\approx-81\,^\circ\text{C}.\] Погрешность большая, потому что два объёма близки: \(\Delta t_0\approx\pm10\,^\circ\)C (\(\Delta V=0{,}1\) мл, \(\Delta t=0{,}5\) К). Результат, конечно, не \(-273\,^\circ\)C.

4.2. Качественное объяснение. Закон Гей-Люссака верен для постоянного количества газа при постоянном давлении, а у нас газ — смесь воздуха и пара. В горячем шприце над водой много насыщенного пара (\(\approx21\) кПа при 62 \(^\circ\)C, около 20 % общего давления), при остывании он конденсируется и перестаёт занимать объём; на объём это ложится как дополнительное сжатие. Поэтому объём падает быстрее, чем у идеального газа с постоянным количеством вещества, и прямая пересекает ось \(t\) слишком близко: \(-81\,^\circ\)C. Кроме того, температура воздуха внутри шприца не равна температуре воды снаружи, особенно сразу после погружения.