МОШ, 2009/10, заключительный этап, 10 класс

На гладком горизонтальном столе находится чаша массой \(M\) с полусферической выемкой радиусом \(R\) с гладкими стенками (смотри рисунок). На самый край выемки чаши поместили монету массой \(m\), размеры которой значительно меньше размеров выемки. В начальный момент монета и чаша друг относительно друга не двигались. Монету и чашу одновременно отпустили. С каким ускорением движется монета, проходя самое нижнее положение?

В горизонтальной крышке стола пропилена полуцилиндрическая канавка радиусом \(R = 20\) см. Ось канавки совпадает с верхней плоскостью крышки стола. На краю канавки сидит муравей, который хочет перебраться через нее. Школьник решил помочь муравью, сделав мостик из прямых отрезков проволоки. Но все куски проволоки, которые были в распоряжении школьника, имели длину \(L = 38\) см. Тогда школьник сделал мостик из двух проволок, расположив их так, как показано на рисунке, причем точку \(A\), в которой концы проволок воткнуты в дно канавки, он выбрал случайным образом. Муравей может ползти вверх по проволоке с постоянной скоростью \(V = 0{,}5\) см/с, а вниз – с постоянной скоростью \(2V = 1\) см/с. Найдите максимальное время и минимальное время, за которое муравей сможет перебраться через канавку по такому мостику.

Горизонтальный сосуд с газом разделен на две части подвижным вертикальным поршнем, не проводящим тепло. Вначале давление в сосуде было равно \(p_0\), а температура \(T_0\). Нагревая газ в левой части сосуда до температуры \(T_0 + \Delta T\), исследуют зависимость давления в системе \(p\) от параметра \(x = \Delta T/T_0\). Эта зависимость оказалась линейной: \(p = p_0(1 + \alpha x)\) с параметром \(\alpha = 0{,}5\). Найдите отношение \(k = \nu_1/\nu_2\) количеств газа в левой и правой частях сосуда. Температура в правой части сосуда поддерживается постоянной, трением между поршнем и стенками сосуда можно пренебречь.

Имеются три концентрические хорошо проводящие металлические сферы 1, 2 и 3 радиусами \(R\), \(2R\) и \(3R\). Пространство между первой и второй сферами заполнено жидкостью с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и удельным сопротивлением \(11\rho\), а между второй и третьей – жидкостью с диэлектрической проницаемостью \(11\varepsilon\) и удельным сопротивлением \(\rho\). Между внутренней и внешней сферами при помощи батарейки поддерживается постоянная разность потенциалов \(U\). Чему равен заряд \(q_2\) средней сферы? Какова сила тока \(I\), который течет при этом в цепи?

Школьник Вася присоединяет к источнику питания, схема которого изображена на рисунке, электрические лампочки. Присоединив к источнику одну электрическую лампочку, Вася обнаружил, что на ней выделяется мощность \(P\). Присоединив к источнику четыре такие же лампочки, соединенные параллельно, Вася обнаружил, что на них вместе также выделяется мощность \(P\). Какая мощность \(P_n\) будет выделяться на лампочках, когда Вася подсоединит к источнику питания \(n\) параллельно соединенных лампочек? Считайте, что сопротивление лампочки не зависит от силы тока.

Тонкую гладкую однородную веревку массой \(m\) и длиной \(L\) расстелили на горизонтальной поверхности, обернув на половину оборота вокруг вертикальной цилиндрической колонны радиусом \(R \ll L\). Первоначально веревку тянули за оба конца, находившиеся на одинаковом расстоянии от колонны, с одинаковой силой \(\vec F\), затем один из концов отпустили, продолжая действовать с той же силой на другой ее конец. В течение какого времени \(t\) после этого длина участка веревки, соприкасающегося с колонной, будет оставаться неизменной?

По вогнутому мосту, образующему дугу окружности радиусом \(R\), движется вагонетка массой \(M\). К вагонетке привязан трос длиной \(L\), на конце которого закреплён груз массой \(m\) (см. рисунок). В момент, когда вагонетка проходила нижнюю точку моста, трос был расположен вертикально, а скорости вагонетки и груза были равны \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Найдите в этот момент силу натяжения троса \(T\) и силу \(N\), с которой вагонетка давит на рельсы. Трос невесом и нерастяжим, трение не учитывать, размерами вагонетки и груза пренебречь.

Автомобиль «Камаз» проехал из Санкт-Петербурга в Москву за время \(t = 16\) часов, пройдя по дороге 720 км и истратив объем \(V = 200\) л дизельного топлива. Движительная установка автомобиля состоит из дизельного двигателя внутреннего сгорания, трансмиссии и шасси.

Найдите КПД (эффективность) автомобиля и его среднюю механическую мощность на всем пути, считая, что механические потери в трансмиссии и шасси составляют \(\alpha = 5\%\), а двигатель работает по циклу Дизеля, рабочим телом которого является идеальный трехатомный газ (теплоемкость одного моля такого газа в изохорном процессе равна \(C_V = 3R\)). Цикл Дизеля состоит из четырёх процессов: адиабатного сжатия рабочего тела, изобарного подвода теплоты к рабочему телу, адиабатного расширения рабочего тела и его изохорного охлаждения, в конце которого осуществляется выпуск продуктов сгорания топлива в атмосферу. Удельная теплота сгорания дизельного топлива \(q = 42\) МДж/кг, а его плотность \(\rho = 0{,}82\) кг/л. Максимальный объём камеры сгорания – 6000 мл, минимальный – 375 мл, максимальный объём в изобарном процессе – 1500 мл, максимальное давление – 40 атм, максимальное давление при изохорном охлаждении – 6 атм.

Тонкое кольцо радиусом \(R\) заряжено зарядом \(Q\), равномерно распределенным по кольцу. Вдоль оси кольца расположена очень длинная нить, начинающаяся в его центре и равномерно заряженная с линейной плотностью заряда \(\gamma\) (см. рисунок). Найдите модуль силы электростатического взаимодействия нити с кольцом.

Найдите сопротивление между клеммами \(A\) и \(B\) бесконечной цепи, схема которой изображена на рисунке. Сопротивление каждого резистора равно \(R\).

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2009/10, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.