МОШ, 2009/10, заключительный этап, 7 класс

Почтальон Печкин выехал из райцентра Сметанино в деревню Простоквашино с посылкой для кота Матроскина. Он ехал со скоростью 15 км в час, а расстояние, которое ему надо было проехать, составляет 15 км. Приехав в Простоквашино, он обнаружил, что по дороге потерял посылку, и сразу же поехал за ней обратно. Когда он нашел посылку, то подобрал ее и снова поехал к коту. Тем временем кот Матроскин, который хотел как можно быстрее получить посылку, сразу после выезда Печкина из Простоквашино побежал за почтальоном со скоростью 5 км в час, и получил посылку через полчаса из рук Печкина, который уже снова ехал в Простоквашино. На каком расстоянии от Сметанино Печкин потерял посылку?

На соревнованиях пахарей надо было как можно быстрее обработать трактором с навесными орудиями (боронами шириной 10 м) квадратный участок поля площадью 1 гектар (т.е. \(100 \times 100\) м\(^2\)). Трактор при этом мог двигаться только вперед со скоростью 2 м/с и совершать повороты с минимальным радиусом 10 м (по центру трактора) на той же скорости. Вне поля достаточно места для любых разворотов, и вся площадь поля должна быть проборонована. Предложите и нарисуйте на прилагаемом листе траекторию движения трактора, при движении по которой время, необходимое для обработки поля, будет как можно меньшим. Рассчитайте, чему равно это время.

▶РешениеСкрыть

Решение

Существует несколько вариантов, которые отличаются способами разворота.

Вариант 1 — разворот в виде петли, смещенной в сторону (рис. 1): \(t = 672\) с \(= 11\) мин. 12 с.

Вариант 2 — разворот в виде несмещенной петли (рис. 2): \(t \approx 668{,}1\) с \(\approx 11\) мин. 08 с.

Вариант 3 — разворот состоит только из дуг поворотов: вначале на угол \(\alpha = \arccos(3/4) \approx 41{,}4^\circ\) влево, затем на угол \(\pi + 2\alpha \approx 262{,}8^\circ\) вправо, и в конце снова на угол \(\alpha \approx 41{,}4^\circ\) влево (рис. 3). При этом \(t \approx 655{,}8\) с \(\approx 10\) мин. 56 с.

На легком горизонтальном рычаге с двумя опорами находятся пустые легкие бочки. Расстояние от оси левой бочки до левой опоры \(a = 2\) метра, от оси правой бочки до правой опоры — \(c = 3\) метра, расстояние между опорами \(b = 1\) метр. В обе бочки одновременно начинают наливать с небольшой скоростью воду из разных кранов. Как должны соотноситься скорости \(v_1\) и \(v_2\) наполнения бочек, то есть массы воды, поступающие в единицу времени в каждую бочку, чтобы система оставалась в равновесии?

В известном мультфильме про Винни-Пуха есть явное несоответствие: Винни-Пух надувает воздушный шарик обычным воздухом и взлетает на нём. Для того, чтобы воздушный шарик поднимался (а тем более поднимал Винни-Пуха), нужно, чтобы он был наполнен лёгким газом, плотность которого меньше плотности окружающего воздуха. Можно предположить, что Винни-Пух надувает шарик тёплым воздухом, плотность которого, как известно, меньше плотности холодного. Рассчитайте, каким должен быть в этом случае минимальный необходимый для подъёма объём шарика, если плотность тёплого воздуха внутри \(\rho_1 = 1{,}13\) кг/м\(^3\), плотность холодного воздуха снаружи \(\rho_2 = 1{,}29\) кг/м\(^3\), а масса Винни-Пуха \(m = 5\) кг.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2009/10, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.