МОШ, 2015/16, отборочный этап, 7 класс

Подсказка

К моменту обгона оба автомобиля проехали одинаковый путь, а грузовик ехал на полчаса дольше. Запишите путь через скорость и время для каждого.

Ответ

Расстояние между населёнными пунктами \(240\text{ км}\); время движения грузового автомобиля \(4\text{ ч}\), легкового "— \(3\text{ ч}\).

Подсказка

Дорог всего две цепочки вокруг прямоугольника, значит, маршрутов лишь два: по часовой и против часовой стрелки. Посчитайте время на каждом участке, учитывая, сколько груза уже роздано.

Ответ

Оптимальный маршрут \(ADCBA\). Время движения по нему \(t \approx 3\text{ ч }54\text{ мин} \approx 4\text{ ч}\).

Решение

Необходимо сравнить два маршрута движения. При движении по часовой стрелке получается \(t_1 \approx 4\) ч, а при движении против часовой стрелки \(t_2 \approx 6{,}3\) ч. Получается, что маршрут «Шарик "— кот Матроскин "— Дядя Фёдор» выгоднее для Печкина.

Подсказка

Масса листа пропорциональна его площади: найдите, какая площадь бумаги весит 100 мг, а потом выразите площади двух других разновесов через неё. Сравните площадь целого листа с площадью одного набора.

Ответ

\(50\) мг "— \(2{,}5\text{ см}\times 2{,}5\text{ см}\); \(100\) мг "— \(5\text{ см}\times 2{,}5\text{ см}\); \(200\) мг "— \(5\text{ см}\times 5\text{ см}\) (возможны другие варианты). Максимум можно вырезать 18 наборов.

Решение

Определим площадь бумаги для изготовления гирьки в 100 мг: \[S = \frac{0{,}100\text{ г}}{80\text{ г}} \cdot 10^4\text{ см}^2 = \frac{100}{8}\text{ см}^2.\] Нужно вырезать квадрат \(10 \times 10\) см\(^2\) и разрезать его на восемь частей. Размеры для различных гирек показаны на рисунке.

Максимум можно вырезать 18 наборов, в каждом из которых будет по 3 разновеса (50 мг, 100 мг, 200 мг). Пример схемы разрезания представлен на рисунке.

Подсказка

Увеличения объектива и окуляра перемножаются. Сетка стоит между ними, поэтому длины, снятые по сетке, нужно ещё поделить на увеличение объектива.

Ответ

Размеры образца \(0{,}875\text{ мм}\times 0{,}375\text{ мм}\); площадь поверхности образца \(\approx 0{,}33\text{ мм}^2\); полное увеличение микроскопа \(40\).

Подсказка

Найдите путь, который улитка проходит за одни сутки, и поделите на него весь путь.

Ответ

\(255\) суток. Средняя скорость за сутки \(0{,}6\) мм/с; путь за сутки \(51{,}8\) м.

Решение

Весь путь улитки равен: \(3776 \cdot 3{,}5 = 13216\) м.

Чтобы найти среднюю скорость улитки за сутки, нужно путь, пройденный за сутки, разделить на время (24 часа). Число секунд в сутках равно \(24 \cdot 3600 = 86400\), а число секунд в 9 часах равно \(9 \cdot 3600 = 32400\).

Путь, пройденный за сутки, равен \(1{,}6 \cdot 32400 = 51840\) мм \(\approx 51{,}8\) м.

Средняя скорость улитки равна \(51{,}84/86400 = 0{,}0006\) м/с \(= 0{,}6\) мм/с.

Чтобы найти число суток, необходимое улитке для достижения своей цели, нужно весь путь разделить на путь, проходимый за одни сутки. Получим: \(13216/51{,}84 \approx 255\) суток.

Подсказка

К моменту встречи самолёт и вертолёт вместе пролетели ровно удвоенное расстояние до цели. Выразите путь самолёта через путь вертолёта.

Ответ

\(40\) км от аэродрома. Суммарный путь к моменту встречи \(240\) км; когда самолёт вернётся на аэродром, вертолёт будет в \(48\) км от него.

Решение

Пусть \(s\) "— расстояние от аэродрома до места встречи (путь вертолёта). Так как вертолёт летел в \(n\) раз медленнее самолёта, путь самолёта (до момента встречи) равен \(ns\). Суммарно вертолёт и самолёт совершили путь вдвое больший, чем расстояние от аэродрома до цели. Окончательно получаем: \[2L = s + ns \;\Rightarrow\; s = \frac{2L}{n+1} = 40\text{ км}.\]

Подсказка

Объём туловища Пуха, погружённого в мёд, равен объёму бочки минус объём оставшегося в ней мёда. Он составляет девять десятых всего объёма медведя.

Ответ

\(M = 40\) кг. Вылилось \(6\) л мёда; первоначально в бочке было \(90\) кг мёда.

Решение

Первоначально мёд занимал объём 60 л. После того, как Пух залез в бочку, из неё вытекло наружу \[\frac{m}{\rho_\text{м}} = \frac{9\text{ кг}}{1500\text{ кг/м}^3} = 0{,}006\text{ м}^3 = 6\text{ л},\] где \(m\) "— масса мёда, вытекшего наружу. Значит, в бочке осталось 54 л мёда. Объём туловища Пуха равен \(90\text{ л} - 54\text{ л} = 36\text{ л}\). С другой стороны, объём туловища Пуха равен \(\dfrac{9}{10}V\), где \(V\) "— объём медведя. Следовательно, \(V = \dfrac{10 \cdot 36}{9} = 40\) л. Тогда масса Винни-Пуха равна \[M = 1000\text{ кг/м}^3 \cdot 40 \cdot 10^{-3}\text{ м}^3 = 40\text{ кг}.\]

Подсказка

Линейка рядом с термометром позволяет найти, сколько миллиметров приходится на один градус. Для точности измеряйте по возможности большой промежуток шкалы.

Ответ

\(\approx 3{,}6\) мкм/с (\(0{,}22\) мм/мин). Цена деления термометра \(1\,^\circ\text{C}\); цена деления линейки \(1\) мм.

Решение

Для ответа на вопрос задачи нужно найти расстояние между делениями термометра с помощью находящейся рядом линейки. Для того, чтобы определить это расстояние наиболее точно, нужно измерить линейкой как можно большую длину. Оптимально измерить расстояние между делениями \(0\,^\circ\text{C}\) и \(50\,^\circ\text{C}\), поскольку они, с одной стороны, расположены далеко друг от друга, а с другой стороны деление термометра \(50\,^\circ\text{C}\) расположено почти ровно напротив деления 1,5 см линейки, а деление термометра \(0\,^\circ\text{C}\) расположено почти ровно напротив деления 8,0 см. Таким образом, расстояние между делениями термометра равно \[\frac{8{,}0\text{ см} - 1{,}5\text{ см}}{50\,^\circ\text{C} - 0\,^\circ\text{C}} = 1{,}3\,\frac{\text{мм}}{^\circ\text{C}}.\] Значит, скорость движения столбика термометра равна \[\frac{5\,^\circ\text{C} \cdot 1{,}3\,\frac{\text{мм}}{^\circ\text{C}}}{30\text{ мин}} = 0{,}22\,\frac{\text{мм}}{\text{мин}} = 3{,}6\,\frac{\text{мкм}}{\text{с}}.\]