МОШ, 2015/16, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Вытесненный объём одинаков не в обеих жидкостях, а значит, в одной из них шарик плавает, а в другой полностью погружён. В какой именно? Для плавающего тела вес вытесненной жидкости равен весу тела.

Ответ

Масса шарика \(18\) г, его объём \(20\text{ см}^3\), объём полости \(\approx 13{,}3\text{ см}^3\).

Подсказка

По закону Гука сила пропорциональна изменению длины относительно недеформированной. Запишите его для обоих случаев и получите два уравнения с двумя неизвестными.

Ответ

Длина пружины в недеформированном состоянии \(25\) см; жёсткость пружины \(10\text{ Н/см}\).

Подсказка

Масса бумажного прямоугольника пропорциональна его площади. Найдите площадь, соответствующую 100 мг, а затем оцените, сколько наборов по площади может поместиться на листе.

Ответ

\(50\) мг "— \(2{,}5\text{ см} \times 2{,}5\text{ см}\); \(100\) мг "— \(5\text{ см} \times 2{,}5\text{ см}\); \(200\) мг "— \(5\text{ см} \times 5\text{ см}\) (возможны другие варианты). Максимум можно вырезать 18 наборов.

Решение

Определим площадь бумаги для изготовления гирьки в 100 мг: \[S = \frac{0{,}100\text{ г}}{80\text{ г}} \cdot 10^4\text{ см}^2 = \frac{100}{8}\text{ см}^2 .\] Нужно вырезать квадрат \(10 \times 10\text{ см}^2\) и разрезать его на восемь частей. Размеры для различных гирек показаны на рисунке.

Максимум можно вырезать 18 наборов, в каждом из которых будет по 3 разновеса (50 мг, 100 мг, 200 мг). Пример схемы разрезания представлен на рисунке.

Подсказка

Сетка стоит между объективом и окуляром, поэтому её шаг относится к изображению, которое даёт объектив, а не к самому образцу. Во сколько раз образец меньше этого изображения?

Ответ

Размеры образца \(0{,}875\text{ мм} \times 0{,}375\text{ мм}\); площадь поверхности образца \(\approx 0{,}33\text{ мм}^2\); полное увеличение микроскопа \(40\).

Подсказка

Масса определяется объёмом стали, то есть разностью объёмов внешнего куба и внутренней кубической полости.

Ответ

Толщина стенок \(h \approx 1\) мм.

Решение

Пусть \(a\) "— длина ребра кубика, \(b\) "— длина ребра полости. Тогда \[\rho_c (a^3 - b^3) = m \quad\Rightarrow\quad b = \sqrt[3]{a^3 - \frac{m}{\rho_c}} = \sqrt[3]{10^3 - \frac{472}{7{,}8}} \approx 9{,}79\text{ см} \approx 98\text{ мм}.\] Пусть \(h\) "— толщина стенок кубика, тогда \[h = \frac{a - b}{2} \approx 1\text{ мм}.\]

Подсказка

Если средняя скорость на всём пути равна скорости на первой трети, какова средняя скорость на оставшихся двух третях? Запишите её через время стоянки и скорость Волка.

Ответ

4 пирожка.

Решение

Если средняя скорость равна скорости на первой трети пути, значит, средняя скорость на второй части пути также равна 4 км/ч. Пусть \(T\) "— время путешествия Красной Шапочки. Тогда на «перекус» и поездку верхом на Волке Красная Шапочка потратила \(\frac{2}{3}T\).

Пусть Красная Шапочка сидела на пеньке и ела пирожки время \(t\). Запишем формулу средней скорости для второй части пути: \[v_{\text{ср}} = \frac{v_{\text{в}}\left(\frac{2}{3}T - t\right) + 0 \cdot t}{\frac{2}{3}T} \quad\Rightarrow\quad t = \frac{2}{3}T\left(1 - \frac{v_{\text{ср}}}{v_{\text{в}}}\right) = \frac{4}{9}T,\] где \(v_{\text{ср}}\) "— средняя скорость на второй части пути, \(v_{\text{в}}\) "— скорость Волка. Так как на каждый пирожок Красная Шапочка затрачивала время, равное одной девятой времени всего своего путешествия, следовательно, она съела 4 пирожка.

Подсказка

Начальная температура льда неизвестна. Рассмотрите две крайние ситуации: после первого нагрева лёд всё ещё заметно холоднее \(0\,^\circ\text{C}\) и лёд уже достиг \(0\,^\circ\text{C}\).

Ответ

\(\tau_1 \le \tau_2 \le 80{,}6\,\tau_1\).

Решение

В процессе первого нагревания льду было передано количество теплоты \(Q = c_1 m (2\,^\circ\text{C})\). В зависимости от конечной температуры льда после первого нагревания возможны следующие предельные варианты:

а) был получен лёд при температуре меньшей, чем \(-2\,^\circ\text{C}\), тогда на повторное нагревание снова понадобится количество теплоты \(Q\) и \(\tau_2 = \tau_1\).

б) был получен лёд при температуре \(0\,^\circ\text{C}\), тогда сперва придётся лёд расплавить, а затем полученную воду нагреть на \(2\,^\circ\text{C}\). Для этого потребуется количество теплоты \[Q_1 = c_2 m (2\,^\circ\text{C}) + \lambda m = \frac{c_2 (2\,^\circ\text{C}) + \lambda}{c_1 (2\,^\circ\text{C})}\,Q \approx 80{,}6\,Q.\] Значит, необходимое время нагревания в этом случае \(\tau_2 = 80{,}6\,\tau_1\). В промежуточных случаях (когда температура льда после первого нагревания больше \(-2\,^\circ\text{C}\), но меньше \(0\,^\circ\text{C}\)), потребуется меньшее время нагревания, так как теплоёмкость льда меньше теплоёмкости воды.

Искомое время нагревания лежит в диапазоне \(\tau_1 \le \tau_2 \le 80{,}6\,\tau_1\).

Подсказка

Правый груз висит на подвижном блоке, поэтому нить тянет брусок вдвое слабее, чем вес груза. Сила трения покоя на границах равновесия достигает максимума \(\mu N\).

Ответ

\(\mu = 0{,}1\).

Решение

Когда система находится в равновесии, сила натяжения \(T_1\) нити, привязанной к бруску справа, равна силе тяжести, действующей на левый груз: \(T_1 = m_1 g\); а сила натяжения \(T_2\) нити, привязанной к бруску слева, равна половине силы тяжести, действующей на правый груз: \(T_2 = m_2 g/2\). На брусок по вертикали действуют сила тяжести \(Mg\) и сила реакции опоры \(N\). Из условия равновесия \(N = Mg\). По горизонтали на брусок действуют силы натяжения нитей и сила трения \(F_{\text{тр}}\), из условия равновесия \(F_{\text{тр}} = |T_1 - T_2| = |m_1 g - m_2 g/2|\). Модуль силы трения не может быть больше, чем \(\mu N\), откуда \[\mu M g = m_1 g - \frac{m_{2\min} g}{2} = \frac{m_{2\max} g}{2} - m_1 g,\] \[\mu = \frac{2 m_1 - m_{2\min}}{2M} = \frac{m_{2\max} - 2 m_1}{2M} = 0{,}1 .\]