зад 1 Катер в канале с течением
Горизонтальный канал соединяет две судоходные реки А и Б. Иногда в нем возникает слабое течение, которое может быть направлено либо в одну, либо в другую сторону. От одной реки к другой по каналу курсирует катер, скорость которого относительно воды постоянна. Капитан катера заметил, что за много лет ему никогда не удавалось совершить рейс туда и обратно быстрее, чем за \(t_1 = 2\) часа, а самый неудачный рейс длился \(t_2 = 3\) часа (время разворота катера и остановок не учитывается). Однажды мотор катера сломался, но из-за стечения обстоятельств рейс от А к Б и обратно все-таки был выполнен. Какое минимальное время для этого могло понадобиться катеру?
После ремонта катер стал развивать в два раза большую скорость относительно воды. Как долго теперь может длиться рейс туда и обратно?
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите время рейса туда и обратно через длину канала \(s\), скорость катера \(v\) и скорость течения \(u\). Когда рейс быстрее всего, а когда дольше всего?
▶ОтветСкрыть
Со сломанным мотором минимальное время рейса \(T_{\min} = 6t_1 = 12\) часов; после ремонта рейс может длиться от \(t_{\min} = \dfrac{6}{11}\,t_1 \approx 65\) мин до \(t_{\max} = \dfrac{2}{3}\,t_1 = 80\) мин.
зад 2 Средняя скорость на пути семьи
Семья Петровых ехала на машине из города в деревню. Весь путь занял у них 2,5 часа. Известно, что средняя скорость машины за первые 2 часа пути равна 60 км/ч, а средняя скорость за последние 2 часа пути равна 80 км/ч. Отец попросил сына, зная это, вычислить среднюю скорость машины на всём пути. Подумав, сын справедливо сказал, что для этого недостаточно данных, но можно вычислить наименьшее и наибольшее возможное значение средней скорости, зная, что семья никогда не нарушает правила дорожного движения, а машина едет только вперёд. Согласно правилам, скорость машины везде на пути от города к деревне не должна превышать 90 км/ч. Найдите наименьшее и наибольшее возможное значение средней скорости машины Петровых.
▶ПодсказкаСкрыть
Участки «первые 2 часа» и «последние 2 часа» перекрываются. Обозначьте путь на общем участке (от 0,5 ч до 2 ч) через \(S_2\) и выразите через него весь путь.
▶ОтветСкрыть
Средняя скорость машины может лежать в интервале от \(v_{\text{ср.мин}} = 64\) км/ч до \(v_{\text{ср.макс}} = 82\) км/ч.
зад 3 Яйца в специальном ящике
В тексте одной из задач задачника Григория Остера «Ненаглядное пособие по математике» написано следующее:
«В специальный ящик можно уложить 68 куриных яиц. Если уминать их ногами, то поместится в 100 раз больше».
С точки зрения физики, это может показаться странным. Жидкости (в частности, белок и желток куриных яиц) трудно поддаются сжатию. Поэтому плотности белка и желтка практически невозможно изменить, уминая яйца ногами. То же самое справедливо и в отношении яичной скорлупы. Поэтому, если яйца в ящике лежат вплотную друг к другу, то объём содержимого ящика нельзя изменить в такое большое число (100) раз.
Однако, в задаче сказано, что ящик "— специальный. Можно предположить, что в ящике были специальные перегородки, за счёт которых яйца укладывались не вплотную, а на некотором расстоянии друг от друга, и большую часть объёма ящика занимал воздух. Предположим, что эти перегородки были лёгкими и тонкими: масса и объём всех перегородок пренебрежимо мала по сравнению с массой и объёмом всех яиц. Будем считать также, что при уминании яиц ногами белок и желток не выплёскиваются из ящика. Известно, что средняя плотность одного куриного яйца равна \(1060\) кг/м\(^3\). Зная это, ответьте на следующие вопросы.
Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика с 68 куриными яйцами?
Чему равна средняя плотность содержимого специального ящика, если в него положили только 40 яиц?
▶ПодсказкаСкрыть
Если яйца уминают, объём содержимого равен объёму ящика, а масса содержимого та же, что у яиц. Во сколько раз тогда объём ящика больше объёма яиц?
▶ОтветСкрыть
1) \(\dfrac{\rho_{\text{яйца}}}{100} = 10{,}6\) кг/м\(^3\); 2) \(\dfrac{\rho_{\text{яйца}}}{170} \approx 6{,}2\) кг/м\(^3\).
зад 4 Масса печатного символа
Вася взвесил на очень точных электронных весах (которые «чувствуют» изменение массы 0,01 г) два чистых белых листа бумаги формата А4 (плотность бумаги 80 г/м\(^2\), размеры листа 297 мм \(\times\) 210 мм). Массы листов были совершенно одинаковыми. На одном из листов на двух его сторонах Вася напечатал на принтере текст, в котором было 6500 символов. После взвешивания листа с текстом оказалось, что его масса увеличилась на 1,6%. Сколько в среднем весит один символ?
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите площадь и массу листа, затем массу всего текста как 1,6% от массы листа.
▶ОтветСкрыть
Один символ весит в среднем 12,3 мкг.
зад 5 Автобус и средняя скорость за треть времени
Первую половину пути автобус ехал со скоростью в 8 раз большей, чем вторую. Средняя скорость автобуса на всем пути оказалась равной 16 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса за первую треть времени движения.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните время движения на первой и второй половинах пути: какую долю всего времени автобус ехал быстро?
▶ОтветСкрыть
Средняя скорость автобуса за первую треть времени движения равна \(U_{\text{ср}} = \dfrac{15}{8}\,V_{\text{ср}} = 30\) км/ч.
зад 6 Турист и поезд на мосту
Турист переходил узкий железнодорожный мост в направлении от точки \(A\) к точке \(B\) (см. рисунок). Находясь на расстоянии \(d = 50\) м от середины моста, ближе к точке \(B\), он увидел поезд, движущийся ему навстречу со скоростью \(V = 54\) км/ч, который в этот момент находился на расстоянии \(S = 300\) м от туриста. Турист побежал вперёд, навстречу поезду, с постоянной скоростью \(v = 5\) м/с, и успел достигнуть точки \(B\) в момент, когда поезд находился на расстоянии \(h = 60\) м от этой точки.
Успел бы турист добежать до точки \(A\), если бы он, увидев поезд, мгновенно развернулся и побежал с такой же скоростью назад? Если да, то на каком расстоянии от точки \(A\) находился бы поезд в момент, когда турист достиг бы этой точки? Если нет, то на каком расстоянии от точки \(A\) поезд мог бы догнать его? Скорость поезда постоянна.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите, какое расстояние турист пробежал до точки \(B\) и какое ему пришлось бы пробежать до \(A\). Затем сравните время бега назад со временем, за которое поезд и турист сблизились бы (скорость сближения \(V+v\) у встречного движения, \(V-v\) у погони).
▶ОтветСкрыть
Турист не успел бы добежать до точки \(A\): поезд догнал бы его на расстоянии \[L = \frac{v(S-h)}{V+v} + 2d - \frac{Sv}{V-v} = 10\text{ м}\] от точки \(A\).
зад 7 Лёд в зелёной жидкости
В цилиндрический стакан до половины налили зеленую жидкость, которая не смешивается и никак не реагирует с водой, после чего отметили на стенке уровень жидкости. Затем в стакан опустили маленький кусочек льда (объем кусочка гораздо меньше объёма жидкости). При этом уровень зеленой жидкости в стакане поднялся на величину \(x\). После того, как весь лёд растаял, уровень зеленой жидкости над начальной отметкой составил \(y\). Постройте график зависимости отношения \(y/x\) от плотности \(\rho\) зеленой жидкости.
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите три случая: жидкость легче льда, плотность между плотностями льда и воды, жидкость тяжелее воды. Где окажется вода от растаявшего льда в каждом случае?
▶ОтветСкрыть
График зависимости \(y/x\) от \(\rho\): на участке \(\rho < \rho_{\text{льда}}\) (1) отношение постоянно и равно \(\rho_{\text{льда}}/\rho_{\text{воды}}\); на участке \(\rho_{\text{льда}} \le \rho < \rho_{\text{воды}}\) (2) оно растёт линейно, от \(\rho_{\text{льда}}/\rho_{\text{воды}}\) до \(1\); при \(\rho > \rho_{\text{воды}}\) (3) равно нулю.
зад 8 Рычаг и шарик в масле и воде
К правому концу \(A\) стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик. Стержень положили на край сосуда с машинным маслом (как показано на рисунке), а к точке \(B\), находящейся на расстоянии \(l_1 = 50\) см слева от точки опоры \(O\), подвесили груз массой \(m_1 = 2{,}3\) кг. При этом шарик оказался погружен в масло на половину своего объема. Затем груз \(m_1\) сняли, а стержень с шаром перенесли и положили на край сосуда с водой так, что точка опоры \(O\) осталась прежней. Груз какой массой \(m_2\) надо подвесить к другому концу стержня \(C\), находящемуся на расстоянии \(l_2 = 110\) см от точки \(O\), чтобы алюминиевый шарик снова оказался погруженным на половину своего объёма? Плотности алюминия, машинного масла и воды равны \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\), \(\rho_{\text{м}} = 800\) кг/м\(^3\) и \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), соответственно. Перед погружением шарика в воду его тщательно протерли от масла.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила, с которой нить тянет конец \(A\), равна весу шарика минус сила Архимеда. Запишите правило моментов относительно \(O\) в обоих опытах и исключите неизвестное плечо \(OA\) и объём шарика.
▶ОтветСкрыть
К другому концу стержня надо подвесить груз массой \[m_2 = \left(\frac{2\rho_{\text{а}} - \rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{а}} - \rho_{\text{м}}}\right)\frac{l_1}{l_2}\,m_1 = 1\text{ кг}.\]
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2015/16, заключительный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.