МОШ, 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Группа из трех туристов должна перебраться из пункта \(A\) в пункт \(B\) по дороге длиной \(S = 45\) км. Стартуют все туристы одновременно. На всю группу туристов есть только два велосипеда, причем если на велосипеде едут двое, то их скорость равна \(3V\), а если на велосипеде едет один человек, то его скорость равна \(4V\). Если же турист идет пешком, то его скорость движения равна \(V = 5\) км/час. За какое минимальное время все туристы могут оказаться в пункте назначения? Временем посадки туристов на велосипед, а также временами разгона и торможения можно пренебречь.

С момента написания писателем Григорием Остером новелл про четверых друзей — Мартышку, Слоненка, Удава и Попугая — прошло уже почти 40 лет. За это время Слоненок вырос и превратился в СЛОНА, Удав стал еще длиннее, Попугай состарился и сгорбился, а Мартышка служит теперь чучелом в зоологическом музее. На очередном собрании друзья вспомнили, как они измеряли длину удава, и решили тряхнуть стариной. Удав, лежа на горизонтальном полу, вычислил расстояние от пола до своего центра масс, и оказалось, что оно равно 10 см. Центр масс Слона оказался на высоте 2 м над полом. Центр масс Удава и Слона вместе взятых находился на высоте 1,7 м. Когда на голову слона на высоте 3,5 м над полом сел Попугай, центр масс всех троих оказался выше еще на 0,5 мм. Какова масса Удава в Попугаях, если высота Попугая намного меньше толщины Удава?

Невесомая нерастяжимая нить перекинута через идеальный блок. К одному концу нити прикреплен груз массой \(m_2\), а другой конец нити наматывается на невесомую катушку радиусом \(r\), расположенную внутри ящика массой \(m_1\). Катушка вращается электродвигателем с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Участки нити, не прилегающие к блоку и катушке, в процессе движения вертикальны, система крепления катушки к ящику и электродвигатель очень легкие. Найдите модуль ускорения \(a\) груза \(m_2\).

В широком цилиндрическом калориметре (см. рис.), частично заполненном льдом при температуре \(t_0 = 0\) °C, во льду имеется цилиндрическая полость радиусом \(R = 10\) см, которая сначала ничем не заполнена. В эту полость через небольшое отверстие сверху быстро залили воду, имевшую температуру \(t = 10\) °C. Лёд начал таять, и, поскольку плотность льда меньше плотности воды, уровень воды начал опускаться. Но через отверстие сверху сразу стали доливать воду, так, чтобы полость в калориметре всё время была полностью заполнена водой. Температура доливаемой воды также равна \(t\). Воду внутри калориметра постоянно перемешивают, так, чтобы лёд во всех точках таял с одинаковой скоростью. В некоторый момент температура воды в калориметре опустилась до \(t_0 = 0\) °C, и лёд таять перестал. Найдите радиус полости, заполненной водой, в этот момент. Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 900\) кг/м\(^3\), удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 330\) кДж/кг.

На планете системы звезды Шедар один из пунктов зарядки роботов-исполнителей обслуживает по одному роботу со скоростью 60 роботов в час (р/ч). В один из дней роботы приходили на пункт в течение 8 часов. Первый час они приходили со скоростью 70 р/ч. В течение второго часа скорость поступления роботов равномерно увеличивалась, составив к его концу 80 р/ч. Потом в течение третьего часа скорость поступления роботов равномерно уменьшалась и упала к его концу обратно до 70 р/ч. На четвёртом часу скорость прихода роботов равномерно падала, составив к концу часа 20 р/ч, и потом оставалась такой в течение пятого и шестого часов. На седьмом часу опять был равномерный подъём скорости поступления роботов — до 100 р/ч в конце часа, а на восьмом часу — наблюдалось равномерное убывание скорости поступления до 60 р/ч. Роботы строго соблюдают очерёдность, а после зарядки сразу покидают пункт.

1. Сколько времени работал пункт в этот день, если были заряжены все роботы?

2. Какова наибольшая продолжительность пребывания робота на пункте зарядки (в очереди и на самой зарядке) в этот день?

В некой лаборатории было получено новое вещество неполитропен с удельной теплоемкостью \(c\), изменяющейся в зависимости от его температуры \(t\) так, как показано на графике. Какая температура установится в калориметре, если в нем смешать равные массы неполитропена, взятые при температурах 0 °C и \(+40\) °C? Удельная теплоемкость калориметра мала, потерями теплоты можно пренебречь.

Клин массой \(M = 5\) кг с углом при основании \(\alpha = 45^\circ\) расположен на гладком горизонтальном столе. На наклонной поверхности клина лежит брусок массой \(m = 1\) кг. На брусок начинает действовать сила, направленная горизонтально в сторону клина. Модуль этой силы возрастает с течением времени \(t\) по закону \(F = \delta t\), где коэффициент пропорциональности \(\delta = 1\) Н/с. Коэффициент трения между клином и бруском равен \(\mu = 1{,}2\). Найдите модуль силы трения, действующей со стороны клина на брусок через время \(T = 12\) с после начала действия силы \(F\), если клин к этому моменту еще не начал опрокидываться. Ускорение свободного падения можно считать равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

Алиса и Василиса играют в игру «Постоянный ток». Они соединили последовательно два реостата и идеальный амперметр, и подключили полученную цепь к источнику напряжения. Амперметр показал ток \(I_0 = 100\) мА. Школьницы «ходят» по очереди. Одна двигает ползунок своего реостата, и показания амперметра меняются. Другая должна тоже подвинуть ползунок своего реостата, как можно быстрее вернув ток к прежнему значению. После этого «ход» переходит к ней. Реостаты у девушек разные, но на каждом из них ползунок перемещается прямолинейно и в начале игры находится в среднем положении. У Алисы расстояние между крайними возможными положениями ползунка равно \(L_A = 36\) см, а у Василисы \(L_B = 40\) см.

1. Первой «ходит» Алиса. Она сдвинула свой ползунок на 4 см вправо, и амперметр стал показывать ток \(I_1 = 90\) мА. Василиса сдвинула свой ползунок на 5 см влево, и ток вернулся к прежнему значению. Теперь «ходит» Василиса. Она двигает ползунок на 6 см влево. На сколько и в каком направлении должна сдвинуть ползунок Алиса, отвечая на «ход» Василисы?

2. Может ли в течение игры возникнуть ситуация, когда Алиса не сможет ответить на «ход» Василисы?

3. Может ли в течение игры возникнуть ситуация, когда Василиса не сможет ответить на «ход» Алисы?

4. Чему равно напряжение источника, если его внутреннее сопротивление \(r = 4\) Ом?

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2015/16, заключительный этап, 9 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.