зад 1 Маятник
Небольшое тело, подвешенное на твёрдом стержне в поле силы тяжести, способно совершать колебательное (повторяющееся) движение, если отклонить его из положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Математическим маятником называется физическая модель, описывающая процесс колебаний груза на стержне, в которой тело считается материальной точкой, масса стержня, а также все силы трения и сопротивления движению считаются пренебрежимо малыми. Время, затрачиваемое маятником на одно колебание, иначе говоря, на возвращение в исходную точку, называется периодом.
(2 балла) Рассмотрим следующие размерные параметры: длина стержня маятника \(L\), масса тела \(m\) и ускорение свободного падения \(g\), равное \(9{,}8\text{ м/с}^2\). Исходя из соображений размерности, определите от каких параметров зависит период колебаний математического маятника. Во сколько раз изменится период колебаний маятника, если уменьшить длину подвеса в 4 раза?
(4 балла) Заданный интервал времени (например, минута), измеряемый маятниковыми часами, пропорционален периоду колебаний маятника. Рассмотрим маятниковые часы, в устройство которых входит маятник длиной \(L = 1\text{ м}\), сделанный из стали. При такой длине движение маятника в одну сторону занимает \(1{,}00\text{ с}\). Известно, что при температуре окружающей среды \(t_1 = 5\,^\circ\text{C}\) часы показывают точное время. На сколько отстанут за сутки часы при температуре \(t_2 = 25\,^\circ\text{C}\)? Линейное тепловое расширение тел описывается формулой \(L = L_0\,(1 + \alpha(t - t_0))\), где \(L\) и \(L_0\) —- размер тела при температурах \(t\) и \(t_0\) соответственно, \(\alpha\) —- постоянный коэффициент линейного расширения, равный для стали \(\alpha = 12{,}5\cdot 10^{-6}\text{ 1/}^\circ\text{C}\).
(4 балла) Как должен быть устроен подвес маятника, чтобы период колебаний не менялся при изменении температуры? Считается, что в своей конструкции вы можете соединять стержни, сделанные из двух разных материалов, коэффициенты линейного расширения которых равны \(\alpha\) и \(2\alpha\). В качестве ответа приведите схематичный рисунок с краткими пояснениями.
Указание. Может оказаться полезной приближённая формула \(\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}\), верная при \(|x| \ll 1\).
▶ПодсказкаСкрыть
В каких единицах измеряется период и какая единственная комбинация \(L\), \(m\), \(g\) даёт секунды? Отставание часов найдите через относительное изменение периода. Для пункта в: подвес должен сохранять эффективную длину, поэтому удлинение стержней в одну сторону компенсируйте удлинением в другую.
▶ОтветСкрыть
1) \(T \sim \sqrt{L/g}\), от массы не зависит, период уменьшится в 2 раза; 2) \(\Delta T \approx T\,\dfrac{\alpha\,\Delta t}{2} \approx 10{,}8\text{ с}\) (где \(T = 86400\text{ с}\)); 3) подвес из трёх стержней одинаковой длины (два из материала с \(\alpha\), один из материала с \(2\alpha\)), соединённых как на рисунке.
▶РешениеСкрыть
а. Перечисленные в условии задачи параметры \(L\), \(m\) и \(g\) в СИ измеряются в м, кг и м/с\(^2\) соответственно. Период маятника \(T\) имеет размерность времени, которое измеряется в секундах. Существует лишь одна комбинация параметров \(L\), \(m\) и \(g\), которая даёт величину, измеряемую в секундах: \(\sqrt{L/g}\). Следовательно, если уменьшить длину подвеса в 4 раза, то период колебаний уменьшится в 2 раза.
б. Вследствие удлинения маятника при нагревании увеличивается период его колебаний. Часы за сутки отстанут на время \(\Delta T = N(T_2 - T_1)\), где \(N\) —- число колебаний маятника за сутки при температуре \(25\,^\circ\text{C}\), а \(T_1\) и \(T_2\) —- периоды колебаний маятника при температурах \(5\,^\circ\text{C}\) и \(25\,^\circ\text{C}\) соответственно. Найдём \(\Delta T\), воспользовавшись приближённой формулой, приведённой в условии задачи: \[\Delta T = N(T_2 - T_1) = \frac{T}{T_2}(T_2 - T_1) = T\left(1 - \frac{T_1}{T_2}\right) = T\left(1 - \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{L(1 + \alpha\Delta t)}}\right) \approx T\,\frac{\alpha\,\Delta t}{2} = 10{,}8\text{ с},\] где \(T = 86400\text{ с}\).
в. Принципиальная схема устройства подвеса маятника приведена на рисунке. Коэффициенты линейного расширения крайних стержней и среднего стержня равны \(\alpha\) и \(2\alpha\) соответственно. Длины стержней одинаковы. Соединительные перемычки имеют пренебрежимо малую длину.
зад 2 Равновесие системы блоков
Система, изображённая на рисунке, состоит из двух подвижных блоков, одного неподвижного двухступенчатого блока, двух грузов и нити. Двухступенчатый блок состоит из лёгких, жёстко соединённых дисков с общей осью, диаметры которых равны 15 см и 30 см. Массы грузов равны \(m = 1\text{ кг}\) и \(M = 3\text{ кг}\). Массами нитей и блоков, а также трением в осях блоков можно пренебречь, нить не проскальзывает по поверхностям блоков.
(3 балла) Пусть в точке \(A\) к нити приложена такая сила \(F\), что система находится в равновесии. Куда направлена и чему равна эта сила?
(4 балла) Можно ли привести систему в состояние равновесия, действуя с некоторой вертикальной силой на нить в точке \(A\), если поверхность двухступенчатого блока гладкая (так что нить по ней проскальзывает)? Ответ объясните.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условия равновесия подвижных блоков, чтобы найти натяжения участков нити, а затем уравнение моментов для двухступенчатого блока относительно его оси. Во втором пункте подумайте, какие силы на него тогда действуют.
▶ОтветСкрыть
1) \(F = \dfrac{R - r}{2R}(M - m)g = 5\text{ Н}\), направлена вверх; 2) невозможно.
▶РешениеСкрыть
а. Способ 1. Предположим, что сила \(\vec F\) направлена вверх. Запишем условия равновесия подвижных блоков: \[\begin{aligned} 2T_1 &= Mg \;\Longrightarrow\; T_1 = \frac{Mg}{2},\\ 2T_2 &= mg \;\Longrightarrow\; T_2 = \frac{mg}{2}, \end{aligned}\] где \(T_1\) и \(T_2\) —- натяжения участков нити, примыкающих к нижнему и верхнему подвижным блокам соответственно. На рисунке указаны силы натяжения различных участков нити.
Найдём силу \(F\) из уравнения моментов для двухступенчатого блока относительно оси, на которую он насажен: \[\frac{mg}{2}\,r + \left(\frac{Mg}{2} - F\right)R = \frac{Mg}{2}\,r + \frac{mg}{2}\,R \;\Rightarrow\; F = \frac{R - r}{2R}(M - m)g = 5\text{ Н}.\] Сила \(F\) оказалась положительной, следовательно, наше предположение насчёт её направления оказалось верным.
Способ 2. Запишем уравнение моментов относительно оси двухступенчатого блока для всей системы: \[FR + mg\left(\frac{R + r}{2} - r\right) = Mg\left(\frac{R + r}{2} - r\right),\] откуда находим \[F = \frac{R - r}{2R}(M - m)g = 5\text{ Н}.\]
б. На двухступенчатый блок (и примыкающие к нему участки нити) действуют силы, изображённые на рисунке. Такое возможно, если между поверхностью блока и примыкающими участками нити действуют силы трения. При малых значениях коэффициента трения система не может находиться в состоянии покоя. Если точка \(A\) нити остаётся на месте (это возможно, если сильно сжать её), груз массой \(M\) движется вниз, массой \(m\) —- вверх, а нить проскальзывает по поверхности двухступенчатого блока.
зад 3 Вода и масло
Цилиндрический сосуд с нанесённой на боковую поверхность мерной шкалой частично заполнен водой, в которой плавает выпуклая пластиковая игрушка. В сосуд начинают добавлять масло, которое течёт тонкой струйкой с постоянной скоростью \(\mu\), измеряемой в мл/с.
Каждую минуту с помощью мерной шкалы определяют два значения объёма, соответствующие положению уровня поверхности воды и масла. Результаты измерений показаны на графике, представленном ниже. В процессе эксперимента жидкости не смешиваются.
Маркеры одной формы (кружки или крестики) соответствуют одной из жидкостей. Плотность воды равна \(1\text{ г/см}^3\), плотность масла меньше плотности воды.
(2 балла) Чему равна скорость \(\mu\)?
(6 баллов) Определите плотность масла.
▶ПодсказкаСкрыть
Выясните, какие маркеры относятся к воде: как меняется погружённый в воду объём игрушки по мере добавления масла? Затем сравните условие плавания в начале и в конце опыта.
▶ОтветСкрыть
1) \(\mu = 0{,}17\text{ мл/с}\); 2) \(\rho_\text{м} = 0{,}77\text{ г/см}^3\).
▶РешениеСкрыть
а. Количество масла в сосуде с течением времени увеличивается, следовательно, сила Архимеда, действующая на пластиковую игрушку со стороны масла, возрастает. Из-за этого уменьшается объём игрушки, погружённый в воду, и уровень воды в сосуде понижается. Значит, крестиками на графике обозначены измерения, связанные с водой, а кружочками —- с маслом. В момент времени \(t = 6\) мин уровень воды прекращает изменяться, а уровень масла повышается с постоянной скоростью, значит, объёмы воды и масла, вытесненные игрушкой, перестают изменяться. По графику определим изменение объёма масла за последние 4 минуты измерений: \(\Delta V_\text{м} = 40\) мл. Скорость \(\mu\) равна \(\Delta V_\text{м}/\Delta t\), где \(\Delta t = 4\) мин. Подставив числовые значения, находим \(\mu = 10\text{ мл/мин} = 0{,}17\text{ мл/с}\).
б. Обозначим объёмы игрушки, погружённые в воду, в начальный и конечный моменты времени как \(V_1\) и \(v_1\) соответственно. Тогда \(V_1 - v_1 \approx 243\text{ мл} - 100\text{ мл} = 143\text{ мл}\). Разность объёмов, измеренных в момент времени \(t = 6\) мин, равна \(\mu t + V_2\), где \(\mu t\) —- объём масла в сосуде к моменту времени \(t = 6\) мин, \(V_2\) —- объём вытесненного масла. Откуда находим \(V_2 = 245\text{ мл} - 10\text{ мл/мин}\cdot 6\text{ мин} = 185\text{ мл}\).
Силу тяжести, действующую на игрушку, в начальный момент времени компенсирует сила Архимеда \(\rho_\text{в} g V_1\), а в конечный момент —- \(\rho_\text{м} g V_2 + \rho_\text{в} g v_1\), где \(\rho_\text{в}\) и \(\rho_\text{м}\) —- плотности воды и масла соответственно. Следовательно, \[\rho_\text{м} = \frac{V_1 - v_1}{V_2}\,\rho_\text{в} = 0{,}77\text{ г/см}^3.\]
зад 4 Передвижение вертолёта
Вертолёт летит с постоянной по модулю скоростью 200 км/ч. На рисунке, представленном ниже, изображено положение вертолёта (крестик) относительно населённого пункта \(A\) и остальных населённых пунктов (кружки) в 12:00. Известно, что вертолёт движется на одной высоте над Землёй по траектории, состоящей из прямолинейных участков. В таблице, приведённой ниже, указано расстояние \(L\) от пункта \(A\) до точки, где находится вертолёт в разные моменты времени.
Пользуясь увеличенным рисунком, представленным на дополнительном листе, а также циркулем и линейкой, ответьте на следующие вопросы.
(3 балла) Пусть известно, что вертолёт не менял направление полёта с 12:00 до 12:30. В какое самое раннее время он мог пролететь над каким-либо населённым пунктом? Над каким именно населённым пунктом он бы при этом пролетел?
(7 баллов) Пусть известно, что вертолёт менял направление полёта только один раз в 13:00. В каком населённом пункте оказался вертолёт в 14:00?
Все построения делайте на увеличенном рисунке, представленном на дополнительном листе. Искомые города пометьте, например, «галочкой». Кратко опишите ваши рассуждения и последовательность построений.
▶ПодсказкаСкрыть
За полчаса вертолёт пролетает 100 км, то есть лежит на окружности радиуса 100 км вокруг своего положения в начале интервала. Одновременно он лежит на окружности вокруг \(A\) с радиусом из таблицы. Пересечения окружностей дают возможные положения.
▶ОтветСкрыть
1) вертолёт пролетит над населённым пунктом, отмеченным на рисунке решения крестиком, с 12:39 до 12:45 (самое раннее время —- 12:39); 2) населённый пункт, в который приходит траектория, показанная на рисунке решения фиолетовым цветом.
▶РешениеСкрыть
а. Нарисуем окружность (чёрная) радиусом 150 км (30 маленьких клеточек), центр которой совпадает с центром пункта \(A\). Изобразим ещё одну окружность (красная) радиусом 100 км (20 маленьких клеточек), центр которой совпадает с положением вертолёта в 12:00. Пересечения этих окружностей —- это два возможных расположения вертолёта в момент времени 12:30. В пункт, который расположен ближе всего к одной из этих точек, вертолёт долетит за минимальное время. Этот пункт на рисунке отмечен крестиком. Расстояние от центра населённого пункта до положения вертолёта в 12:30 равно 8 клеточкам. Диаметр населённого пункта равен 4 клеточкам. Следовательно, вертолёт будет лететь над этим населённым пунктом с 12:39 до 12:45.
б. На рисунке изображены 4 чёрные окружности радиусами 150 км, 225 км, 250 км и 300 км, центры которых совпадают с центром пункта \(A\), и красные окружности радиусом 100 км, которые показывают, где мог бы оказаться вертолёт через 30 минут. Возможны 4 траектории перемещения вертолёта, одна из которых попадает в искомый населённый пункт. Данная траектория изображена фиолетовым цветом.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.