МОШ, 2023/24, заключительный этап, 7 класс

Когда колонна короче всего? Подумайте, какие два тела сближаются быстрее всего, и посмотрите, что происходит с длиной колонны в момент их встречи.

20 см.

Наименьшая длина колонны достигается в тот момент времени, когда самое быстрое тело встречается с самым медленным. Действительно, за миг до этого момента 1-е тело сокращало расстояние до 3-го тела. Где бы ни находилось в это время 2-е тело, «впереди» 3-го тела или «позади» 1-го, длина колонны уменьшалась. Сразу после встречи 1-го и 3-го тел длина колонны будет увеличиваться, при любом положении 2-го тела.

Впервые быстрое и медленное тела встретятся через время \(\dfrac{2\text{ м}}{4\text{ м/с} - 3\text{ м/с}} = 2\) с в том месте, откуда стартовало третье тело. К этому моменту 2-е тело пройдёт расстояние \(7{,}2\) м и окажется «впереди» других тел на «расстоянии» 20 см. При дальнейшем движении первое и третье тела будут встречаться через каждые 3 с в одном и том же месте — точке старта третьего тела. За 3 с второе тело проходит 3 круга и \(1{,}8\) м. Следовательно, в момент второй встречи первого и третьего тел второе тело находится на расстоянии \(20\text{ см} + 180\text{ см} = 200\) см по ходу движения. Длина колонны в этом случае равна 100 см. В момент третьей встречи расстояние между вторым телом и двумя другими равно \(200\text{ см} + 180\text{ см} - 300\text{ см} = 80\) см по ходу движения. Длина колонны равна 80 см. Аналогично рассуждая, находим длину колонны в момент четвёртой, пятой и шестой встреч первого и третьего тел. В момент четвёртой встречи длина колонны равна 40 см (второе тело находится на таком расстоянии «позади» первого и третьего тел), в момент пятой встречи длина колонны равна 140 см (второе тело находится на таком расстоянии «впереди» первого и третьего тел). А в момент шестой встречи длина колонны составит 20 см и второе тело окажется в той же точке окружности, что и в момент первой встречи первого и третьего тел. Значит, в ходе дальнейшего движения тел всё будет повторяться. Следовательно, минимальная длина колонны равна 20 см.

Число машин на каждом участке пропорционально времени, которое машина на нём проводит. Выразите среднее арифметическое скоростей через среднюю скорость одной машины на этом отрезке пути.

84 км/ч.

Пусть \(l_1\), \(l_2\) — длины «хорошего» и «плохого» участков дороги, \(v_1\), \(v_2\) — скорости автомобилей на этих участках. Пусть также \(\Delta t\) — временной интервал между автомобилями. Тогда дистанция между ближайшими автомобилями будет составлять \(v_1\Delta t\) на быстром отрезке и \(v_2\Delta t\) на медленном. Тогда на быстром отрезке в произвольный момент времени находится \(N_1 = \dfrac{l_1}{v_1\Delta t}\) автомобилей, а на медленном — \(N_2 = \dfrac{l_2}{v_2\Delta t}\). Среднее арифметическое их скоростей будет равно \(u = \dfrac{N_1v_1 + N_2v_2}{N_1 + N_2}\), поскольку всего автомобилей \(N_1 + N_2\). Имеем: \[u = \frac{N_1v_1 + N_2v_2}{N_1 + N_2} = \frac{\dfrac{l_1}{v_1\Delta t}v_1 + \dfrac{l_2}{v_2\Delta t}v_2}{\dfrac{l_1}{v_1\Delta t} + \dfrac{l_2}{v_2\Delta t}} = \frac{l_1 + l_2}{\dfrac{l_1}{v_1} + \dfrac{l_2}{v_2}}. \tag{1}\] Отметим, что полученный результат совпадает со средней скоростью отдельного автомобиля на всей дистанции. Аналогичный результат справедлив для автомобилей на второй половине дистанции. Поскольку средняя скорость на второй половине ниже, чем на всей дистанции, ясно, что плохой отрезок дороги идёт в конце пути. Тогда вторая половина дороги состоит из участка плохой дороги протяжённостью \(l_2\) и участка хорошей дороги протяжённостью \(\dfrac{l_1 + l_2}{2} - l_2 = \dfrac{l_1 - l_2}{2}\). Средняя скорость на второй половине пути может быть найдена как \[u_2 = \frac{\dfrac{l_1 + l_2}{2}}{\dfrac{l_1 - l_2}{2v_1} + \dfrac{l_2}{v_2}}. \tag{2}\] Из соотношения (1) получаем \[\frac{l_2}{v_2} = \frac{l_1 + l_2}{u} - \frac{l_1}{v_1}. \tag{3}\] Из соотношений (2) и (3) имеем \[\frac{l_1 + l_2}{2u_2} = \frac{l_1 - l_2}{2v_1} + \frac{l_2}{v_2} = -\frac{l_1 + l_2}{2v_1} + \frac{l_1 + l_2}{u}.\] После сокращения на \(l_1 + l_2\) получаем \[\frac{1}{2u_2} = -\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{u},\] откуда \(v_1 = \dfrac{uu_2}{2u_2 - u} = 84\) км/ч.

Сигнал идёт сначала через лёд, потом через воду, и обратно. Запишите время как функцию толщины льда и глубины дна и найдите дно в точках излома графика \(t(x)\).

Профиль дна — ломаная через точки \(y(0) = 5{,}4\) м, \(y(150) = 5{,}4\) м, \(y(300) = 5{,}1\) м, \(y(450) = 4{,}8\) м (см. рисунок).

Введём ось \(OY\), направленную вертикально вниз, начало отсчёта которой совпадает с началом отсчёта оси \(OX\). Так как профиль нижней поверхности льдины и график \(t(x)\) представляют собой ломаные линии, следовательно, профиль дна водоёма тоже представляет собой ломаную линию. Покажем это. Пусть на некотором интервале оси \(OX\) профили нижней поверхности льдины и поверхности дна водоёма являются линейными функциями в зависимости от координаты \(x\): \(y_\text{л} = a_\text{л}x + b_\text{л}\) и \(y_\text{д} = a_\text{д}x + b_\text{д}\) соответственно. Тогда \[t(x) = 2\cdot\left(\frac{a_\text{л}x + b_\text{л}}{v_\text{л}} + \frac{a_\text{д}x + b_\text{д} - a_\text{л}x - b_\text{л}}{v_\text{в}}\right),\] где \(v_\text{л}\), \(v_\text{в}\) — скорости распространения звука в льдине и в воде соответственно. Видно, что \(t(x)\) на данном интервале оси \(OX\) является линейной функцией.

Найдём координаты \(y\) поверхности дна при \(x_1 = 0\) см, \(x_2 = 150\) см, \(x_3 = 300\) см и \(x_4 = 450\) см, то есть в координатах концов трёх отрезков, из которых состоит график \(t(x)\). Из уравнений \[\begin{aligned} 6{,}8\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}6\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(0) - 0{,}6\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}6\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}9\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(150) - 0{,}9\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}0\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{1{,}2\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(300) - 1{,}2\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}2\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}3\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(450) - 0{,}3\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right), \end{aligned}\] находим \(y(0) = 5{,}4\) м, \(y(150) = 5{,}4\) м, \(y(300) = 5{,}1\) м и \(y(450) = 4{,}8\) м.

Теперь достаточно соединить четыре найденные точки координатной плоскости \(XY\).

Выразите \(g\) на поверхности планеты через её среднюю плотность и радиус, считая планеты шарами.

\(3{,}3\) г/см\(^3\).

Рассмотрим материальную точку массой \(m\), находящуюся на поверхности шарообразной планеты массой \(M\). Силу тяжести, которая, с одной стороны, равна \(mg\), можно также рассчитать, воспользовавшись законом всемирного тяготения \(G\dfrac{mM}{R^2}\), где \(R\) — радиус планеты. Откуда находим \(g = G\dfrac{M}{R^2}\). Ускорения свободного падения на Земле и на Луне равны соответственно: \[g_\text{З} = G\frac{M_\text{З}}{R_\text{З}^2}, \qquad g_\text{Л} = G\frac{M_\text{Л}}{R_\text{Л}^2},\] а их отношение — \[\frac{g_\text{З}}{g_\text{Л}} = \frac{M_\text{З}}{M_\text{Л}}\cdot\frac{R_\text{Л}^2}{R_\text{З}^2} = \frac{\rho_\text{З}V_\text{З}}{\rho_\text{Л}V_\text{Л}}\cdot\frac{R_\text{Л}^2}{R_\text{З}^2}. \tag{1}\] Поскольку шарообразные планеты являются подобными телами (одну из них можно преобразовать в другую путём масштабирования), отношение их объёмов равно \[\frac{V_\text{З}}{V_\text{Л}} = \frac{R_\text{З}^3}{R_\text{Л}^3}. \tag{2}\] Из соотношений (4) и (5) получаем \[\frac{g_\text{З}}{g_\text{Л}} = \frac{\rho_\text{З}R_\text{З}}{\rho_\text{Л}R_\text{Л}} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{Л} = \rho_\text{З}\cdot\frac{R_\text{З}}{R_\text{Л}}\cdot\frac{g_\text{Л}}{g_\text{З}} = 3{,}3\text{ г/см}^3.\]