МОШ, 2023/24, заключительный этап, 8 класс

Когда колонна сокращается, а когда растёт? Подумайте, в какой момент сближаются крайние тела, и посмотрите, где в такие моменты оказывается среднее по скорости тело.

20 см.

Наименьшая длина колонны достигается в тот момент, когда самое быстрое тело встречается с самым медленным. Действительно, за миг до этого момента 1-е тело сокращало расстояние до 3-го тела. Где бы ни находилось в это время 2-е тело, «впереди» 3-го тела или «позади» 1-го, длина колонны уменьшалась. Сразу после встречи 1-го и 3-го тел длина колонны будет увеличиваться, при любом положении 2-го тела.

Впервые быстрое и медленное тела встретятся через время \(\dfrac{2\text{ м}}{4\text{ м/с}-3\text{ м/с}} = 2\) с в том месте, откуда стартовало третье тело. К этому моменту 2-е тело пройдёт расстояние \(7{,}2\) м и окажется «впереди» других тел на «расстоянии» 20 см. При дальнейшем движении первое и третье тела будут встречаться через каждые 3 с в одном и том же месте — точке старта третьего тела. За 3 с второе тело проходит 3 круга и \(1{,}8\) м. Следовательно, в момент второй встречи первого и третьего тел второе тело находится на расстоянии \(20\text{ см} + 180\text{ см} = 200\) см по ходу движения. Длина колонны в этом случае равна 100 см. В момент третьей встречи расстояние между вторым телом и двумя другими равно \(200\text{ см} + 180\text{ см} - 300\text{ см} = 80\) см по ходу движения. Длина колонны равна 80 см. Аналогично рассуждая, находим длину колонны в момент четвёртой, пятой и шестой встреч первого и третьего тел. В момент четвёртой встречи длина колонны равна 40 см (второе тело находится на таком расстоянии «позади» первого и третьего тел), в момент пятой встречи длина колонны равна 140 см (второе тело находится на таком расстоянии «впереди» первого и третьего тел). А в момент шестой встречи длина колонны составит 20 см и второе тело окажется в той же точке окружности, что и в момент первой встречи первого и третьего тел. Значит, в ходе дальнейшего движения тел всё будет повторяться. Следовательно, минимальная длина колонны равна 20 см.

Сухой остаток нектара не меняется при выпаривании: по нему найдите массу исходного нектара. Не забудьте, что часть нектара пчёлы сами съедают, поэтому принести пришлось больше.

\(P = 56\) Вт; \(s = 1{,}6\cdot 10^9\) м.

В 20 кг мёда содержится 4 кг воды, следовательно, масса «сухого» нектара (который не содержит воды) равна 16 кг. Пусть \(x\) — масса нектара, из которого сделали 20 кг мёда, тогда \(0{,}4\,x = 16\) кг. Стало быть, \(x = 40\) кг. Всего пчёлы испарили \(40\cdot 0{,}6 - 4 = 20\) кг воды, на что потребовалось 48 МДж энергии. Средняя мощность, затрачиваемая пчёлами только на испарение воды, равна \[P = \frac{20\text{ кг}\cdot 2{,}4\cdot 10^6\text{ Дж/кг}}{10\cdot 24\cdot 3600\text{ с}} = 56\text{ Вт}.\] Масса съеденного пчёлами нектара равна \[m = \frac{48\text{ МДж}}{6{,}0\text{ МДж/кг}} = 8\text{ кг}.\] Следовательно, всего пчёлы перенесли 48 кг нектара. При этом было совершено \[\frac{48\text{ кг}}{1200\text{ кг/м}^3\cdot 30\cdot 10^{-9}\text{ м}^3} \approx 1{,}33\cdot 10^6\] полётов. За каждый полёт пчела пролетает 1200 м, поэтому общее расстояние, которое пролетели пчёлы, равно \(1200\text{ м}\cdot 1{,}33\cdot 10^6 = 1{,}6\cdot 10^9\) м.

Лёд плавает, не касаясь дна, поэтому давление на дно равно весу всего содержимого, делённому на площадь. Как изменилась масса содержимого, когда уровень вырос с 15 до 20 см?

\(1{,}09\) г/см\(^3\); \(20{,}6\) см.

Пусть первоначальная масса солевого раствора равна \(M\), а давление жидкости на дно сосуда \(p\). После добавления льда уровень жидкости поднялся с высоты \(15{,}0\) см на высоту \(20{,}0\) см от дна, следовательно, давление жидкости на дно сосуда стало равным \(\dfrac{4}{3}p\). Так как лёд плавает и не касается дна сосуда, стало быть, масса солевого раствора со льдом будет равна \(\dfrac{4}{3}M\). Первоначальная концентрация соды в солевом растворе была равна 12%. После того, как лёд растает, концентрация соли составит \(3/4\) от первоначального значения, то есть 9%. Новая плотность солевого раствора равна \(1{,}09\) г/см\(^3\). Поскольку масса вещества в сосуде при таянии льда не меняется, то и давление на дно сосуда остаётся неизменным: \[1{,}12\text{ г/см}^3\cdot 20{,}0\text{ см} = 1{,}09\text{ г/см}^3\cdot H,\] где \(H\) — новая высота уровня жидкости от дна сосуда. Откуда находим \[H = \frac{1{,}12\text{ г/см}^3\cdot 20{,}0\text{ см}}{1{,}09\text{ г/см}^3} = 20{,}6\text{ см}.\]

Лёд получает тепло от воздуха и от конденсирующегося пара. Время таяния пропорционально массе конденсата, так как он образуется с постоянной скоростью. Запишите баланс для обеих комнатных температур.

\(M = 680\) г.

Сосуд с содержимым получает тепло благодаря двум процессам: теплообмену с окружающим воздухом и конденсации воды на стенках сосуда. Количество теплоты, которое получает сосуд с его содержимым от воздуха посредством теплообмена, равно \(Q_{\text{тепл}} = \alpha\,(t_\text{к} - t_0)\,\tau\), где \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности, \(t_\text{к}\) — комнатная температура, \(t_0 = 0\,^\circ\)C, \(\tau\) — время таяния льда. Так как скорость образования конденсата в обоих случаях одинаковая и постоянна, следовательно, масса конденсата на стенках сосуда пропорциональна времени процесса: \(m = \beta\tau\), где \(\beta\) — коэффициент пропорциональности, одинаковый для обоих процессов. Стало быть, отношение времён таяния льда при комнатной температуре \(22\,^\circ\)C и при комнатной температуре \(30\,^\circ\)C равно \[\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{m_1}{m_2}.\] Запишем уравнение теплового баланса для первого и второго процессов: \[\begin{align*} \alpha\,(t_{\text{к}1} - t_0)\,\tau_1 + L m_1 &= \lambda M,\\ \alpha\,(t_{\text{к}2} - t_0)\,\tau_2 + L m_2 &= \lambda M, \end{align*}\] где \(M\) — масса растаявшего льда. Решая систему уравнений, получаем \[M = \frac{L\,m_1 m_2\,(t_{\text{к}2} - t_{\text{к}1})}{\lambda\,\bigl(m_2 (t_{\text{к}2} - t_0) - m_1 (t_{\text{к}1} - t_0)\bigr)} = 680\text{ г}.\]