Росатом, 2017/18, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите закон Ома для всей цепи до и после подключения сопротивления параллельно вольтметру; внутреннее сопротивление источника и сопротивление амперметра войдут в комбинацию \(I(r + r_A)\).

Ответ

\(U_V = \dfrac{2}{3}\,\varepsilon\).

Решение

По закону Ома для замкнутой цепи (без дополнительного сопротивления) ток в цепи (он равен току через амперметр) \[I = \frac{\varepsilon}{r + r_A + r_V},\] где \(r\) — внутреннее сопротивление источника, \(r_A\) — сопротивление амперметра, \(r_V\) — сопротивление вольтметра. Отсюда напряжение на вольтметре \[U_V = I r_V = \frac{\varepsilon r_V}{r + r_A + r_V} = \varepsilon - I(r + r_A). \qquad (*)\] Аналогично, когда параллельно вольтметру подключают сопротивление \(R\), напряжение на вольтметре равно \[U'_V = \varepsilon - I'(r + r_A).\] По условию показания амперметра увеличиваются вдвое (\(I' = 2I\)), а вольтметра — вдвое уменьшаются (\(U'_V = U_V/2\)). Отсюда \[\frac{U_V}{2} = \varepsilon - 2I(r + r_A). \qquad (**)\] Выражая \(I(r + r_A)\) из формулы \((*)\) и подставляя в \((**)\), получим \[\frac{U_V}{2} = \varepsilon - 2(\varepsilon - U_V),\] откуда \[U_V = \frac{2}{3}\,\varepsilon.\]

Подсказка

Сравнивайте не силы тяжести, а моменты сил относительно опоры: для каждого числа учтите стержни, лишние или недостающие по сравнению с другим числом, и их плечи.

Ответ

Перевесит число 328 (правое плечо); дополнительный груз \(m_0 = m\) на конце левого колена коромысла (плечо \(10a\)).

Решение

Массы макетов чисел 238 и 328 равны, но на коромысельных весах сравниваются не силы тяжести, действующие на макеты, а моменты сил тяжести относительно опоры. Посчитаем моменты сил, действующих на правое и левое плечо коромысла.

«Двойка» (слева) и «восьмерка» (справа). У «восьмерки» есть два лишних стержня, расположенных на расстояниях \(6a\) и \(7a\) от опоры. Значит, избыточный момент, действующий на правое плечо, \[\Delta M_{\text{пр}} = 6amg + 7amg = 13amg.\] «Тройка» (слева) и «двойка» (справа). У «двойки» есть лишний стержень на расстоянии \(5a\) от опоры и не хватает стержня на расстоянии \(4a\) от опоры. Следовательно, \[\Delta M_{\text{пр}} = 13amg + 5amg - 4amg = 14amg.\] «Восьмерка» (слева) и «тройка» (справа). У восьмерки есть два лишних стержня на расстоянии \(2a\) от опоры. Поэтому \[\Delta M_{\text{пр}} = 14amg - 4amg = 10amg.\] Следовательно, число 328 справа от опоры перевесит. Чтобы восстановить равновесие, груз нужно положить на самый конец левого колена коромысла (плечо \(10a\)): \[10a\,m_0 g = 10amg \quad\Rightarrow\quad m_0 = m.\]

Подсказка

В равновесии тепловой поток в каждой вершине равен нулю: запишите баланс потоков в вершинах 2 и 4 по закону Фурье.

Ответ

\(t_2 = \dfrac{72t_1 + 45t_3}{117} = 61{,}5\,^\circ\)C;  \(t_4 = \dfrac{45t_1 + 72t_3}{117} = 38{,}5\,^\circ\)C.

Решение

Очевидно, что в равновесии тепловой поток по стержню 1-2 равен сумме тепловых потоков по стержням 2-3 и 2-4. Поэтому из закона Фурье, где \(l\) — длина стержня 1-2, \[\frac{t_1 - t_2}{l} = \frac{t_2 - t_3}{2l} + \frac{t_2 - t_4}{3l} \quad\Rightarrow\quad 6t_1 + 3t_3 = 11t_2 - 2t_4. \qquad (*)\] Аналогично, тепловой поток по стержню 4-3 равен сумме тепловых потоков по стержням 2-4 и 1-4: \[\frac{t_4 - t_3}{l} = \frac{t_2 - t_4}{3l} + \frac{t_1 - t_4}{2l} \quad\Rightarrow\quad 3t_1 + 6t_3 = -2t_2 + 11t_4. \qquad (**)\] Решая систему \((*)\)–\((**)\), получим \[t_2 = \frac{72t_1 + 45t_3}{117} = 61{,}5\,^\circ\text{C}, \qquad t_4 = \frac{45t_1 + 72t_3}{117} = 38{,}5\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчета, связанную с минутной стрелкой: конец часовой стрелки движется в ней по окружности с постоянной скоростью. Когда скорость удаления максимальна?

Ответ

\(\Delta t = \dfrac{60\cdot 12}{11\cdot 6}\text{ мин} \approx 10{,}9\) мин.

Решение

Скорость удаления конца часовой стрелки от конца минутной определяется тем, как растет расстояние между концами стрелок, и потому не зависит от системы отсчета. Перейдем в систему отсчета, в которой минутная стрелка не вращается. В ней часовая стрелка вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью \(\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}\), и ее конец движется с постоянной по величине скоростью. Поэтому скорость удаления конца часовой стрелки от конца минутной будет максимальной тогда, когда вектор скорости часовой стрелки направлен вдоль прямой, соединяющей концы стрелок (см. рисунок).

В этот момент прямая из конца минутной стрелки к концу часовой является касательной к окружности, по которой движется конец часовой стрелки. Так как длина часовой стрелки вдвое меньше длины минутной, угол между стрелками составляет \(60^\circ\). Этот угол составляет шестую часть полного угла, поэтому стрелка пройдет его за шестую часть времени \(T\), за которое она совершает полный оборот вокруг минутной стрелки: \[T = \frac{2\pi}{\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}} = \frac{60\cdot 12}{11}\text{ мин} \approx 65{,}5\text{ мин}.\] Скорость удаления максимальна через шестую часть этого времени: \[\Delta t = \frac{T}{6} = \frac{60\cdot 12}{11\cdot 6}\text{ мин} \approx 10{,}9\text{ мин}.\]

Подсказка

Условие равновесия буя без учета воды внутри даёт объём его подводной части, не заполненной водой; геометрия расстояний от середины буя до двух уровней воды даёт минимум.

Ответ

Разность уровней меняется; \(\Delta h_{\min} = 2h\,\dfrac{\sqrt[3]{2} - 1}{\sqrt[3]{2}} \approx 0{,}41\,h \approx 0{,}41\) м.

Решение

Пусть в буй просочилась вода и он погрузился на некоторую глубину (см. рисунок). Условие равновесия: сила тяжести равна силе Архимеда, \[(M + m)g = \rho g V_{\text{п.ч.}},\] где \(M\) — масса буя, \(m\) — масса воды в буе, \(\rho\) — плотность воды, \(V_{\text{п.ч.}}\) — объем погруженной в воду части буя. Объем погруженной части складывается из объема \(V_{\text{п.ч.с.в.}}\), заполненного водой, и объема \(V_{\text{п.ч.б.в.}}\) без воды: \[(M + m)g = \rho g\left(V_{\text{п.ч.с.в.}} + V_{\text{п.ч.б.в.}}\right).\] Пренебрегая толщиной стенок, \(m = \rho V_{\text{п.ч.с.в.}}\), поэтому условие равновесия дает \[M = \rho V_{\text{п.ч.б.в.}}.\] Из этой формулы следует, что объем подводной части буя, не заполненный водой, определяется только массой самого буя и не меняется в процессе погружения. Расстояние между уровнем воды внутри буя и уровнем воды в водоеме максимально, когда максимальна ширина части буя, расположенной между этими уровнями; значит, это расстояние минимально, если расстояния от середины буя до уровня воды внутри и до уровня воды в водоеме одинаковы (обозначим их \(x\)). Найдем эти расстояния.

Из условия равновесия буя без воды (он погружается ровно наполовину): \[M = \rho V_{\text{п.ч.б.в.}} = \rho\,\frac13\pi R^2 h = \rho\,\frac13\pi h^3\tg^2\alpha,\] где \(R\) — радиус самой широкой части буя. Если буй заполнен водой слоем высотой \(h_1\), то объем незаполненной водой части буя от его средней части до уровня воды внутри буя равен \[V = \frac13\pi\left(h^3 - h_1^3\right)\tg^2\alpha.\] В случае минимального расстояния между уровнями объем незаполненной водой подводной части буя равен удвоенному объему \((*)\) и равен объему половины буя: \[\frac23\pi\left(h^3 - h_1^3\right)\tg^2\alpha = \frac13\pi h^3\tg^2\alpha.\] Отсюда \[h_1 = \frac{h}{\sqrt[3]{2}} \quad\Rightarrow\quad x = h - h_1 = \frac{h\left(\sqrt[3]{2} - 1\right)}{\sqrt[3]{2}}.\] Минимальное расстояние между уровнями воды внутри буя и в водоеме равно \[\Delta h_{\min} = 2(h - h_1) = \frac{2h\left(\sqrt[3]{2} - 1\right)}{\sqrt[3]{2}} \approx 0{,}41\,h = 0{,}41~\text{м}.\] От угла при вершине буя ответ не зависит.