Росатом, 2017/18, заключительный этап, 8 класс

Сколько теплоты нужно, чтобы нагреть каждую часть на один и тот же \(\Delta T\)? Учтите, что массы частей относятся как их плотности.

\(c_{\text{ср}} = \dfrac{11}{21}\,c\).

Пусть мы сообщаем телу количество теплоты \(Q\). С одной стороны, по смыслу средней удельной теплоемкости \[Q = c\,m\,\Delta T = c\left(\rho_1 + \rho_2 + \rho_3\right) V \Delta T,\] где \(c\) — средняя удельная теплоемкость тела, \(m\) — его масса, \(\Delta T\) — приращение температуры, \(V\) — объем каждой части. С другой стороны, это количество теплоты идет на нагревание частей тела, которые все нагреются на ту же величину \(\Delta T\). Поэтому \[Q = c_1 m_1 \Delta T + c_2 m_2 \Delta T + c_3 m_3 \Delta T = \left(c_1\rho_1 + c_2\rho_2 + c_3\rho_3\right) V \Delta T.\] Сравнивая две эти формулы, при \(c_1 = c\), \(c_2 = \frac{2}{3}c\), \(c_3 = \frac{1}{3}c\) имеем \[c = \frac{c_1\rho_1 + c_2\rho_2 + c_3\rho_3}{\rho_1 + \rho_2 + \rho_3} = \frac{11c}{21}.\]

Выразите массу первой части через \(\rho_1\) и её объём, а массу всего кубика — через массу первой части по условию.

\(\rho_2 = \dfrac{3}{2}\rho_1\).

Пусть объем всего кубика \(V\), а плотность его второй части — \(\rho_2\). Тогда из условия имеем \[\rho_1\frac{V}{3} + \rho_2\frac{2V}{3} = 4\rho_1\frac{V}{3}.\] Решая это уравнение относительно \(\rho_2\), получаем \[\rho_2 = \frac{3}{2}\rho_1.\]

Сравните давления у дна обоих сосудов в начальный момент: в каком направлении начнёт перетекать каждая жидкость? Что означает равенство давлений у дна в конце процесса?

\(x = \dfrac{h}{5}\).

Давление около дна сосуда с тяжелой жидкостью (\(p = 6\rho g\dfrac{h}{2} = 3\rho g h\)) больше давления около дна в сосуде с легкой жидкостью (\(p_1 = \rho g h\)). Поэтому при открывании крана тяжелая жидкость по нижней трубке будет перетекать в сосуд, в котором первоначально была легкая жидкость, которая в свою очередь по верхней трубке будет перетекать в сосуд с тяжелой жидкостью. Процесс перетекания будет происходить до тех пор, пока не выровняются давления около дна в левом и правом сосуде. Пусть к этому моменту в сосуд с легкой жидкостью перетечет столб тяжелой жидкости высотой \(x\). Тогда точно такой же слой легкой жидкости перетечет по верхней трубке в сосуд с тяжелой жидкостью, и условие равновесия жидкости в сосуде дает \[6\rho g\left(\frac{h}{2} - x\right) + \rho g x = 6\rho g x + \rho g (h - x).\] Отсюда \[x = \frac{h}{5}.\]

Сравнивайте не массы макетов, а моменты сил тяжести относительно опоры: для каждого стержня важно его расстояние от опоры.

Перевесит число 328 (правое плечо). Восстановить равновесие можно грузом массой \(m_0 = m\), положенным на самый конец левого плеча коромысла (на расстоянии \(10a\) от опоры).

Массы макетов чисел 238 и 328 равны, но при их сравнении на коромысловых весах сравниваются не силы тяжести, действующие на макеты чисел, а моменты сил тяжести относительно опоры. Посчитаем моменты сил, действующих на правое и левое плечо коромысла. «Двойка» (слева) и «восьмерка» (справа). У «восьмерки» есть два лишних стержня, расположенных на расстояниях \(6a\) и \(7a\) относительно опоры. Значит, для избыточного момента, действующего на правое плечо, имеем \[\Delta M_{пр} = 6amg + 7amg = 13amg.\] «Тройка» (слева) и «двойка» (справа). У «двойки» есть лишний стержень на расстоянии \(5a\) от опоры, и не хватает стержня на расстоянии \(4a\) от опоры. Следовательно, избыточный момент, действующий на правое плечо коромысла весов, есть \[\Delta M_{пр} = 13amg + 5amg - 4amg = 14amg.\] «Восьмерка» (слева) и «тройка» справа. У восьмерки есть 2 лишних стержня на расстоянии \(2a\) от опоры. Поэтому для избыточного момента, действующего на правое плечо, имеем \[\Delta M_{пр} = 14amg - 4amg = 10amg.\] Следовательно, число 328 справа от опоры перевесит. Поскольку восстанавливающий равновесие весов груз нужно положить на самый конец левого колена коромысла (плечо \(10a\)), для его массы \(m_0\) имеем \(10am_0g = 10amg\), откуда \(m_0 = m\).

В установившемся режиме сумма тепловых потоков, входящих в вершину 2, равна сумме потоков, выходящих из неё. Запишите закон Фурье для стержней 1-2, 2-3 и 2-4.

\(t_2 \approx 61{,}5\,^\circ\)C, \(t_4 \approx 38{,}5\,^\circ\)C.

В равновесном состоянии (когда температуры всех точек не меняются) тепловой поток по стержню 1-2 равен сумме тепловых потоков по стержням 2-3 и 2-4. Длины стержней: \(1\text{-}2 = l\), \(2\text{-}3 = 2l\), \(2\text{-}4 = 3l\). Поэтому из закона Фурье \[\frac{t_1 - t_2}{l} = \frac{t_2 - t_3}{2l} + \frac{t_2 - t_4}{3l},\] откуда \[6t_1 + 3t_3 + 2t_4 = 11t_2. \qquad (*)\] Аналогично, тепловой поток по стержню 4-3 (длина \(l\)) равен сумме тепловых потоков по стержням 2-4 и 1-4 (длина \(2l\)). Поэтому \[\frac{t_4 - t_3}{l} = \frac{t_2 - t_4}{3l} + \frac{t_1 - t_4}{2l},\] откуда \[3t_1 + 2t_2 + 6t_3 = 11t_4. \qquad (**)\] Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), получим \[t_2 = \frac{72\,t_1 + 45\,t_3}{117} = 61{,}5\,^\circ\text{C}, \qquad t_4 = \frac{45\,t_1 + 72\,t_3}{117} = 38{,}5\,^\circ\text{C}.\]