Росатом, 2018/19, заключительный этап, 8 класс

Рассмотрите равновесие рычага относительно точки опоры, а затем равновесие блока относительно его оси. Силы, с которыми рычаг и блок действуют друг на друга, равны по величине.

\(F_1=80\) Н.

Обозначим силу, действующую на левый конец рычага, как \(F_1\). Чтобы рычаг был в равновесии, нужно, чтобы сумма моментов сил, действующих на него, равнялась нулю. Следовательно, на рычаг со стороны блока действует сила \(F_2\), направленная вертикально вниз, и такая, что \[F_1\cdot AB=F_2\cdot BC\quad\Rightarrow\quad F_1=3F_2.\] Чтобы блок был в равновесии, нужно, чтобы сумма моментов сил, действующих на него, равнялась нулю. А поскольку рычаг действует на блок с такой же по величине силой, как и блок на него, имеем \[F_2\cdot CO=F\cdot R,\] где \(R\) — радиус блока. Поэтому \[F_2=\frac{R}{CO}\,F.\] Отрезок \(CO\) составляет \(1/8\) часть от длины рычага, радиус блока — \(1/3\) от длины рычага, поэтому \[F_1=3F_2=3\cdot\frac{8}{3}\,F=8F=80\ \text{Н}.\]

Выразите времена встречи и обгона через длину круга и скорости бегунов. Скорость Короткова удобно найти из времени одного круга.

\(t_3=312\) с.

Пусть длина круга на стадионе равна \(l\), скорость Долгова — \(v_1\), скорость Короткова — \(v_2\). Тогда справедливы уравнения \[t_1=\frac{l}{v_1+v_2}\qquad\text{и}\qquad t_2=\frac{l}{v_2}.\] Из этих уравнений находим \[\frac{1}{t_2}=\frac{v_2}{l},\qquad \frac{1}{t_1}-\frac{1}{t_2}=\frac{v_1}{l}.\qquad(*)\] А поскольку время \(t_3\), за которое Долгов догонит Короткова, если они побегут в одну сторону, равно \[t_3=\frac{l}{v_1-v_2},\] из формул \((*)\) находим \[\frac{1}{t_3}=\frac{v_1-v_2}{l}=\frac{1}{t_1}-\frac{2}{t_2}=\frac{t_2-2t_1}{t_1t_2},\] откуда \[t_3=\frac{t_1t_2}{t_2-2t_1}=\frac{24\cdot52}{52-48}=312\ \text{с}.\]

Рассмотрите самые неприятные точки, около которых сеть движется перпендикулярно самой себе. Какую составляющую скорости рыбе нужно иметь вдоль направления движения сети?

\(v_{\min}=v=2\) м/с.

Поскольку рыба должна уплыть из любой точки внутри сети, рассмотрим самые неприятные с точки зрения выплывания точки; из других точек рыба тогда уплывет. Это точки, лежащие около участка сети, двигающегося перпендикулярно самому себе. Чтобы рыба могла уплыть из любой точки перед этим участком, её скорость должна быть на «микроскопическую» величину больше скорости сети, т.е. \(v\). Имея такую скорость, рыба сможет бесконечно долго плыть перед сетью. Поэтому, чтобы уплыть из сети, рыба должна иметь хотя бы бесконечно малую составляющую скорости вдоль направления, перпендикулярного направлению перемещения сети. Поэтому минимальная скорость, которую должна иметь рыба, чтобы выплыть из любой точки внутри сети, равна \[v_{\min}=v=2\ \text{м/с}.\]

Термометр сам поглощает тепло, поэтому его собственную теплоемкость нужно учесть в обоих тепловых балансах.

\(t_x=21{,}0^\circ\)C.

Так как атмосферное давление нормальное, температура кипения воды \(t_{\text{кип}}=100^\circ\)C. Термометр показывает меньшую температуру, поэтому нужно учитывать его собственную теплоемкость. Уравнение теплового баланса для опускания термометра в кипящую воду: \[C_0\,(t_2-t_0)=c\cdot2m\,(t_{\text{кип}}-t_2),\] где \(C_0\) — теплоемкость термометра, \(c\) — удельная теплоемкость воды. Отсюда \[C_0=\frac{2mc\,(t_{\text{кип}}-t_2)}{t_2-t_0}.\qquad(*)\] После этого термометр с температурой \(t_2\) опускают в стакан воды массой \(m\) с температурой \(t_0\). Уравнение теплового баланса дает \[C_0\,(t_2-t_x)=cm\,(t_x-t_0),\] где \(t_x\) — температура воды в первом стакане после установления равновесия (которую и покажет термометр). Находя отсюда температуру \[t_x=\frac{C_0t_2+cmt_0}{cm+C_0}\] и подставляя \(C_0\) из формулы \((*)\), получим \[t_x=\frac{t_0\,(t_2-t_0)+2t_2\,(t_{\text{кип}}-t_2)}{t_2-t_0+2\,(t_{\text{кип}}-t_2)}\approx21{,}0^\circ\text{C}.\]